在平面直角坐标系xOy中.已知抛物线y=x2+bx+c过点A．(1)求b.c的值.并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标．(2)设该抛物线的对称轴为直线l.点P(m.n)是抛物线在第一象限上的点.点E与点P关于直线l对称.点E与点F关于y轴对称．若四边形OAPF的面积为15.求点P的坐标．的条件下.设M是直线1上任意一点.试判断MP+MA是否存在最小值?若存在.求出这个最小值及相应的点M� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．在平面直角坐标系xOy（O为坐标点）中，已知抛物线y=x²+bx+c过点A（4，0），B（1，3）．
（1）求b，c的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标．
（2）设该抛物线的对称轴为直线l，点P（m，n）是抛物线在第一象限上的点，点E与点P关于直线l对称，点E与点F关于y轴对称．若四边形OAPF的面积为15，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，设M是直线1上任意一点，试判断MP+MA是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，运用配方法求出对称轴和顶点坐标；
（2）由条件可得E（4-m，n）、F（m-4，n），从而得到PF=4，由四边形OAPF的面积为48可求出点P的纵坐标，然后代入抛物线的解析式就可求出点P的坐标．
（3）由点E与点P关于直线l对称可得MP=ME，则有MP+MA=ME+MA，根据“两点之间线段最短”可得AE的长就是MP+MA的最小值，只需运用勾股定理就可解决问题．

解答解）∵抛物线y=x²+bx+c过点A（4，0），B（1，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+4b+c=0}\\{1+b+c=-3}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=0}\end{array}\right.$．
∴y=x²-4x=（x-2）²-4．
∴抛物线的对称轴为x=2，顶点为（2，-4）．

（2）如图1，
∵点P（m，n）与点E关于直线x=2对称，
∴点E的坐标为（4-m，n）．
∵点E与点F关于y轴对称，
∴点F的坐标为（m-4，n）．
∴PF=m-（m-4）=4．
∴PF=OA=4．
∵PF∥OA，
∴四边形OAPF是平行四边形．
∵S_?OAPF=OA•|y_P|=4n=15，
∴n=$\frac{15}{4}$．
∴m²-4m=n=$\frac{15}{4}$．
解得：m₁=$\frac{4+\sqrt{31}}{2}$，m₂=$\frac{4-\sqrt{31}}{2}$．
∵点P是抛物线上在第一象限内的点，
∴m=$\frac{4+\sqrt{31}}{2}$．
∴点P的坐标为（$\frac{4+\sqrt{31}}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

（3）过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，
在（2）的条件下，有P（$\frac{4+\sqrt{31}}{2}$，$\frac{15}{4}$）．E（$\frac{-4-\sqrt{31}}{2}$，$\frac{15}{4}$），
则AH=4-（$\frac{-4-\sqrt{31}}{2}$）=$\frac{12+\sqrt{31}}{2}$，EH=$\frac{15}{4}$．
∵EH⊥x轴，即∠EHA=90°，
∴EA²=EH²+AH²=（$\frac{15}{4}$）²+（$\frac{12+\sqrt{31}}{2}$）²=$\frac{925+96\sqrt{31}}{16}$．
∴EA=$\frac{\sqrt{925+96\sqrt{31}}}{4}$．
∵点E与点P关于直线l对称，
∴MP=ME．
∴MP+MA=ME+MA．
根据“两点之间线段最短”可得：
当点E、M、A共线时，MP+MA最小，最小值等于EA的长，即$\frac{\sqrt{925+96\sqrt{31}}}{4}$．
设直线AE的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-4-\sqrt{31}}{2}m+n=\frac{15}{4}}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{-186+\sqrt{31}}{113}}\\{n=\frac{744-4\sqrt{31}}{113}}\end{array}\right.$．
则直线AE的解析式为y=$\frac{-118+\sqrt{31}}{113}$x+$\frac{744-4\sqrt{31}}{113}$．
当x=2时，y=$\frac{508-2\sqrt{31}}{113}$，则点M的坐标为（2，$\frac{508-2\sqrt{31}}{113}$）．
∴MP+MA取到最小值，最小值为$\frac{\sqrt{925+96\sqrt{31}}}{4}$．，此时对应点M的坐标为（2，$\frac{508-2\sqrt{31}}{113}$）．

点评本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、两点之间线段最短、勾股定理、解一元二次方程、平行四边形的判定与性质、关于抛物线对称轴对称及关于y轴对称点的坐标特征等知识，有一定的综合性．

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