Question

已知一次函数y=-

4

3

x+8的图象与y轴、x轴的交点分别为A、B两点，C点坐标为（-2，0），二次函数图象经过A、B、C三点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）P点为直线上方二次函数图象上的动点，过P点作x轴平行线交一次函数图象于点D，过P点作x轴垂线，垂足为F点，交一次函数于点E；
（Ⅰ）如图①，设P点横坐标为m，试用m表示出△DEP周长的表达式，并求△DEP周长的最大值；
（Ⅱ）如图②，过A点作PF的垂线，垂足为M，以A、M、E为顶点作平行四边形，设第四个顶点为Q，当Q点坐标为何值时，Q点落在二次函数图象上．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）分别令x=0，y=0，解一元一次方程即可A，B的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）设P点横坐标为m，则P（m，-

2

3

m²+

8

3

m+8），E（m，-

4

3

m+8），D（

1

2

m²-2m，-

2

3

m²+

8

3

m+8），求得PD、PE、DE的长，根据周长公式列出等式即可求得
用m表示的△DEP周长的表达式；
（3）因为以A、M、E为顶点作平行四边形只有一种情况，就是过E点平行x轴交抛物线的点，根据题意可知Q点的横坐标等于2m，然后根据E、Q点的纵坐标相等列出方程，解这个方程即可求得m的值，进而求得Q的坐标．

解答：解：（1）∵一次函数y=-

4

3

x+8的图象与y轴、x轴的交点分别为A、B两点，
令y=0，则0=-

4

3

x+8，解得：x=6，
∴B（6，0），
令x=0，则y=8，
∴A（0，8），
∵C点坐标为（-2，0），设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
则

36a+6b+c=0 c=8 4a-2b+c=0

，
解得：

a=- 2 3 b= 8 3 c=8

∴抛物线的解析式：y=-

2

3

x²+

8

3

x+8，

（2）（Ⅰ）如图①，设P点横坐标为m，则P（m，-

2

3

m²+

8

3

m+8），E（m，-

4

3

m+8），D（

1

2

m²-2m，-

2

3

m²+

8

3

m+8），
∵PD=m-（

1

2

m²-2m）=-

1

2

m²+3m，PE=-

2

3

m²+

8

3

m+8-（-

4

3

m+8）=-

2

3

m²+4m，
∴DE²=（-

1

2

m²+3m）²+（-

2

3

m²+4m）²=

25

36

（m²-6m）²，
∴DE=

5

6

（m²-6m），
∴△DEP周长=-

1

2

m²+3m-

2

3

m²+4m+

5

6

（m²-6m）=-

1

3

m²+2m，
∵△DEP周长=-

1

3

m²+2m=-

1

3

（m-3）²+3，
∴△DEP周长的最大值是3；

（Ⅱ）过E点作x轴的平行线交抛物线于Q，
设P点横坐标为m，
∴E（m，-

4

3

m+8），M（m，8），
∴AM=m，
∵四边形AEQM是平行四边形，AM∥EQ∥x轴，
∴EQ=AE=m，
∴Q的横坐标为2m，代入抛物线的解析式y=-

8

3

m²+

16

3

m+8，
∴Q点的纵坐标为-

8

3

m²+

16

3

m+8，
∵Q点的纵坐标=E点的纵坐标，
∴-

8

3

m²+

16

3

m+8=-

4

3

m+8，
解得m=

5

2

，m=0（舍去），
∴Q（5，

14

3

）．

点评：本题考查了直线与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，坐标系中三角形周长的求法，以及在坐标系中平行四边形的判定的方法等．