Question

如图1，反比例函数y=

k

x

过A（a，b）且|a+2

3

|+（b-2

3

）²=0
（1）求反比例函数解析式；

（2）如图2，直线y=2x-2与x轴交于B，与y轴交于C，是否存在第二象限的点M，使线段BC绕M旋转180°后恰好都落在反比例函数图象的D点和E点，若存在，求D，E两点坐标，若不存在，说明理由；
（3）如图3，反比例函数图象上是否存在点P，使以PB为直径的圆恰好过C点？若存在，求出直线PC的解析式和P点坐标，若不存在，说明理由（下图仅为示意图）．

Answer 1

分析：（1）根据|a+2

3

|+（b-2

3

）²=0，可以求出a、b的值，从而得知A点的坐标，用待定系数法求出双曲线的解析式．
（2）作EH⊥y轴，DG⊥y轴，EF⊥DG，垂足分别于点H、G、F，利用三角形全等及待定系数法求出D、E的坐标．
（3）∵PC为直径，△PCB为直角三角形，根据两点间的距离公式可以表示出PC、PB的长，再根据勾股定理建立等式，设出P点的坐标代入双曲线的解析式与勾股定理建立的等式构成方程组就可以求出P点的，利用待定系数法就可以求出直线PC的解析式．

解答：解：（1）∵|a+2

3

|+（b-2

3

）²=0
∴a+2

3

=0或b-2

3

=0
∴a=-2

3

，b=2

3

∴k=-2

3

×2

3

=-12
∴反比例函数的解析式为：y=-

12

x

（2）作EH⊥y轴，DG⊥y轴，EF⊥DG，垂足分别于点H、G、F
由旋转可知∠DEC=∠ECB，∠FEC=∠ECG，DE=BC
∴∠DEF=∠BCO
∴△DEF≌△BCO
∴DF=OB，EF=OC
∵B、C是直线y=2x-2与x轴，y轴的交点．
∴OC=2，OB=1
∴DF=1，EF=2
设D（a，b），则E（a+1，b+2），∵两点都在双曲线上，
∴

ab=-12 (a+1)(b+2)=-12

∵b＞0∴解得：

b=4 a=-3

D（-3，4），E（-2，6）

（3）设P（a，b），由两点间的距离公式得PB=

(a-1)2+b2

，PC=

a2+(b+2)2

∵PB为直径，△PCB为直角三角形，由勾股定理得：
5+a²+（b+2）²=（a-1）²+b²
∵ab=-12，∵b＞0
∴解得：

a=-2 7 -2 b=-1+ 7

∴P（-2

7

-2，-1+

7

）
设直线PC的解析式为y=kx+b，由题意得：

-2=b -1+ 7 =k(-2 7 -2)-2

解得：

k=- 1 2 b=-2

∴直线PC的解析式为：y=-

1

2

x-2

点评：本题是一道反比例函数的综合题，考查了非负数和为0定理，待定系数法求函数的解析式，旋转，勾股定理，圆周角定理、两点间的距离公式等多个知识点，是一道综合性较强的试题．