【题目】如图,已知抛物线的图象经过点、和原点,为直线上方抛物线上的一个动点.
(1)求直线及抛物线的解析式;
(2)过点作轴的垂线,垂足为,并与直线交于点,当为等腰三角形时,求的坐标;
(3)设关于对称轴的点为,抛物线的顶点为,探索是否存在一点,使得的面积为,如果存在,求出的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)直线的解析式为,二次函数的解析式是;(2);(3)存在,或
【解析】
(1)先将点A代入求出OA表达式,再设出二次函数的交点式,将点A代入,求出二次函数表达式;
(2)根据题意得出当为等腰三角形时,只有OC=PC,设点D的横坐标为x,表示出点P坐标,从而得出PC的长,再根据OC和OD的关系,列出方程解得;
(3)设点P的坐标为,根据条件的触点Q坐标为,再表示出的高,从而表示出的面积,令其等于,解得即可求出点P坐标.
解:(1)设直线的解析式为,
把点坐标代入得:,
直线的解析式为;
再设,
把点坐标代入得:,
函数的解析式为,
∴直线的解析式为,二次函数的解析式是.
(2)设的横坐标为,则的坐标为,
∵为直线上方抛物线上的一个动点,
∴.
此时仅有,,
∴,解得,
∴;
(3)函数的解析式为,
∴对称轴为,顶点,
设,
则,到直线的距离为,
要使的面积为,
则,即,
解得:或,
∴或.
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【题目】如图,函数(x>0)和(x>0)的图象分别是和.设点P在上,PA∥y轴交于点A,PB∥x轴,交于点B,△PAB的面积为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是过点A的直线,DB⊥MN于点B.
(1)如图,求证:BD+AB=BC;
(2)直线MN绕点A旋转,在旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=时,求BC的值.
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【题目】如图1所示,六个小朋友围成一圈(面向圈内)做传球游戏,规定:球不得传给自己,也不得传给左手边的人.若游戏中传球和接球都没有失误.
若由开始一次传球,则和接到球的概率分别是 、 ;
若增加限制条件:“也不得传给右手边的人”.现在球已传到手上,在下面的树状图2中
画出两次传球的全部可能情况,并求出球又传到手上的概率.
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【题目】如图,△ABC是边长为2的等边三角形,点D与点B分别位于直线AC的两侧,且AD=AC, 联结BD、CD,BD交直线AC于点E.
(1)当∠CAD=90°时,求线段AE的长.
(2)过点A作AH⊥CD,垂足为点H,直线AH交BD于点F,
①当∠CAD<120°时,设,(其中表示△BCE的面积,表示△AEF的面积),求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当时,请直接写出线段AE的长.
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【题目】某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个柱子,点恰好在水面中心,安装在柱子顶端处的圆形喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过的任意平面上,水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示,建立平面直角坐标系,右边抛物线的关系式为.请完成下列问题:
(1)将化为的形式,并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米;
(2)写出左边那条抛物线的表达式;
(3)不计其他因素,若要使喷出的水流落在池内,水池的直径至少要多少米?
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【题目】某学校初中英语口语听力考试即将举行,准备了A、B、C、D四份听力材料,它们的难易程度分别是易、中、难、难;另有a、b是两份口语材料,它们的难易程度分别是易、难.
(1)从四份听力材料中,任选一份是难的听力材料的概率是 ;
(2)用树状图形或列表法,求出听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的概率.
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【题目】如图,已知一次函数y=ax+b(a,b为常数,a≠0)的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,且与反比例函数(k为常数,k≠0)的图象在第二象限内交于点C,作CD⊥x轴于D,若OA=OD=OB=3.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)观察图象直接写出不等式0<ax+b≤的解集;
(3)在y轴上是否存在点P,使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形?如果存在,请直接写出P点的坐标;如果不存在,请简要说明理由
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.
(1)已知点A(2,0),B(0,2),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为 ;
(2)若点C(1,2),点D在直线y=5上,以CD为边的“坐标菱形”为正方形,求直线CD 表达式;
(3)⊙O的半径为,点P的坐标为(3,m).若在⊙O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.
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