【题目】如图,顶点为D的抛物线y=﹣x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于两点B、C(点B在点C的左边),点A与点E关于抛物线的对称轴对称,点B、E在直线y=kx+b(k,b为常数)上.
(1)求k,b的值;
(2)点P为直线AE上方抛物线上的任意一点,过点P作AE的垂线交AE于点F,点G为y轴上任意一点,当△PBE的面积最大时,求PF+FG+OG的最小值;
(3)在(2)中,当PF+FG+OG取得最小值时,将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1,过点G1作AE的垂线与AE交于点M.点D向上平移个单位长度后能与点N重合,点Q为直线DN上任意一点,在平面直角坐标系中是否存在一点S,使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形?若存在,直接写出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)k=,b=1;(2)PF+FG+OG的最小值2+3;(3)存在,点S的坐标为:(﹣1,﹣1),(﹣1,9),(7,4).
【解析】
(1)由题意得:A(0,4)、B(-2,0)、D(3,)、C(8,0)、E(6,4),则:过BE的直线为:y=x+1;
(2)设:P横坐标为m,则P(m,-m2++4),H(m,m+1),则:PH=-m2++4-(m+1)=-(x-2)2+4,当x=2时,PH取得最大值,此时△PEB的面积也取得最大值;构造与y轴夹角为45度的直线OR,如图所示,过点G作OR的垂线交OR于点R,则:RG=,则:PF+FG+OG=PF+FG+GR,当F、G、R三点共线时,FG+GR有最小值,即可求解;
(3)存在.当四边形为菱形,分在MNQ1S1的位置时、在MNQ2S2的位置时、在MNQ3S3的位置时三种情况分别求解.
(1)由题意得:A(0,4)、B(﹣2,0)、D(3,)、C(8,0)、E(6,4),
则:过BE的直线为:y=x+1;
(2)延长PF交BE于点H,
设:P横坐标为m,则P(m,﹣m2++4),H(m, m+1),
则:PH=﹣m2++4﹣(m+1)=﹣(x﹣2)2+4,
当x=2时,PH取得最大值,此时△PEB的面积也取得最大值,
此时,P(2,6)、F(2,4),PF=2,
构造与y轴夹角为45度的直线OR,如图所示,过点G作OR的垂线交OR于点R,
则:RG=,∴PF+FG+OG=PF+FG+GR,
当F、G、R三点共线时,FG+GR有最小值,
在Rt△AGF中,AF=AG=2,则:GF=2,
在Rt△ROG中,RO=RG,OG=2,则:RG=,
FG+GR=2+=3,
故:PF+FG+OG的最小值2+3;
(3)存在.如图所示:
△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1,
在Rt△G1AM中,AG1=2,∠AG1M=30°,
则:AM=1,∴M(﹣1,4),
点D向上平移个单位长度后能与点N重合,则:N(3,7),
则:MN==5,
当四边形为菱形,在MNQ1S1的位置时,MS1=MN=5,则点S1(﹣1,﹣1),
当四边形为菱形,在MNQ2S2的位置时,MS2=MN=5,则点S2(﹣1,9),
当四边形为菱形,在MNQ3S3的位置时,点S3与点M关于对称轴对称,则点S3(7,4),
故:所求点S的坐标为:(﹣1,﹣1),(﹣1,9),(7,4).
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【题目】某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间 每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上.
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;
(2)求斜坡CD的长度.
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【题目】已知二次函数y=﹣x2+2x+m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围;
(2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标.
(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
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【题目】如图,射线OP与x轴正半轴的夹角为30°,点A是OP上一点,过点A作x轴的垂线与x轴交于点E.△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合,△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合,若点D恰好在抛物线y=x2(x>0)上,则点A的坐标是_____.
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【题目】2014年,河北省委宣传部主办“河北节约之星”活动,表彰节水先进典型,省委宣传部号召全社会以节水先进典型为榜样,牢固树立节约用水理念,争做节俭美德的传承者,节约用水的践行者.小鹏想了解某小区住户月均用水情况,随机调查了该小区部分住户,并将调查数据绘制成如图所示的频数分布直方图(不完整)和如下的频数分布表.
月均用水量x(吨) | 频数(户) | 频率 |
0<x≤4 | 12 | a |
4<x≤8 | 32 | 0.32 |
8<x≤12 | b | c |
12<x≤16 | 20 | 0.2 |
16<x≤20 | 8 | 0.08 |
20<x≤24 | 4 | 0.04 |
(1)求a,b,c的值,并将如图所示的频数分布直方图补充完整;
(2)求月均用水量超过12吨的住户占所调查总住户的百分比;
(3)若该小区有1000住户,根据所调查的数据,该小区月均用水量没有超过8吨的住户有多少?
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【题目】如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.
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【题目】如图,在锐角三角形ABC中,BC=6,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是_____.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=45°,AB=,AC=6,点D,E为边AC上的点,AD=1,CE=2,点F为线段DE上一点(不与D,E重合),分别以点D、E为圆心,DF、EF为半径作圆.若两圆与边AB,BC共有三个交点时,线段DF长度的取值范围是_______.
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