Question

【题目】梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD为直径的⊙O交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：

（1）EF⊥BC； （2）BF·BC=BE·AE.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据已知利用切线的性质可得到∠BEF+∠B=90°，即EF⊥BC；
（2）利用两组角对应相等的两个三角形相似得到△ADE∽△BEF，再根据相似三角形的对应边成比例和AD=BC，即可得到BFBC=BEAE．

证明：（1）连接OE，

∵∠DEF+∠DEO=90°，∠ADE+∠OEA=90°，

∴∠DEF=∠OEA．

∵OA=OE，AD=BC，

∴∠OEA=∠A=∠B．

∴∠A=∠B=∠DEF．

∵∠DEF+∠BEF=90°，

∴∠BEF+∠B=90°．

∴EF⊥BC；

（2）∵∠A=∠B，∠AED=∠BFE=90°，

∴△ADE∽△BEF．

∴．

∵AD=BC，

∴．

∴BFBC=BEAE．