Question

10．如图1，已知线段a、b，其中a＞b，如图2，作AB=a并以AB为直径作半圆，圆心O，在AB上截取BM=b，过点M作MN⊥AB交⊙O于点N，连接BN，求证：BN=$\sqrt{ab}$．

Answer 1

分析 连结AN，如图2，利用圆周角定理得到∠ANB=90°，加上∠MBN=∠NAB，则可判断Rt△BMN∽Rt△BNA，然后利用相似比可表示出BN．

解答 证明：连结AN，如图2，
由作法可得AB为直径，MN⊥AB，AB=a，BN=b，
∵AB为直径，
∴∠ANB=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠BMN=90°，
而∠MBN=∠NAB，
∴Rt△BMN∽Rt△BNA，
∴$\frac{BN}{BA}$=$\frac{BM}{BN}$，即$\frac{BN}{a}$=$\frac{b}{BN}$，
∴BN=$\sqrt{ab}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．