Question

【题目】在矩形中，，，是射线上的点，连接，将沿直线翻折得．

（1）如图①，点恰好在上，求证：∽；

（2）如图②，点在矩形内，连接，若，求的面积；

（3）若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长为 　 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的面积为；（3）、5、15、

【解析】

（1）先说明∠CEF=∠AFB和，即可证明∽；

（2）过点作交与点，交于点，则；再结合矩形的性质，证得△FGE∽△AHF，得到AH=5GF；然后运用勾股定理求得GF的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；

（3）分点E在线段CD上和DC的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．

（1）解：∵矩形中，

∴

由折叠可得

∵

∴

∴

在和中

∵，

∴∽

（2）解：过点作交与点，交于点，则

∵矩形中，

∴

由折叠可得：，，

∵

∴

∴

在和中

∵

∴∽

∴

∴

∴

在中，

∵

∴

∴

∴的面积为

（3）设DE=x，以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则：

①当点E在线段CD上时，∠DAE<45°，

∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°，

∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，

∴∠CEF<90°，

∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，

a,当∠EFC=90°时，如图所示:

由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，

∴∠AFE+∠EFC=90°，

∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，

在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=，

由折叠可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，

∴CF=AC-AF=-5，

在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，

∴x2+（-5）2=（3-x）2，解得x=即：DE=

b,当∠ECF=90°时，如图所示: 点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，

在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==4，

∴CF=BC-BF=1，

在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，

（3-x）2+12=x2,解得x=,即：DE=；

②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，

∴∠CFE<90°，

∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，

a、当∠CEF=90°时，如图所示

由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，

∴四边形AFED是正方形，

∴DE=AF=5；

b、当∠ECF=90°时，如图所示:

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴点F在CB的延长线上，

∴∠ABF=90°，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，

在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==4，

∴CF=BC+BF=9，

在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，

∴（x-3）2+92=x2，解得x=15，即DE=15，

故答案为、、5、15．