Question

（2012•日照）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b²-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（　　）

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

Answer 1

分析：由二次函数图象与x轴有两个交点，得到根的判别式大于0，可得出选项①正确；由二次函数的对称轴为直线x=1，利用对称轴公式列出关系式，化简后得到2a+b=0（i），选项②错误；由-2对应的函数值为负数，故将x=-2代入抛物线解析式，得到4a-2b+c小于0，选项③错误；由-1对应的函数值等于0，将x=-1代入抛物线解析式，得到a-b+c=0（ii），联立（i）（ii），用a表示出b及c，可得出a：b：c的比值为-1：2：3，选项④正确，即可得到正确的选项．

解答：解：由二次函数图象与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，选项①正确；
又对称轴为直线x=1，即-

b

2a

=1，
可得2a+b=0（i），选项②错误；
∵-2对应的函数值为负数，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，选项③错误；
∵-1对应的函数值为0，
∴当x=-1时，y=a-b+c=0（ii），
联立（i）（ii）可得：b=-2a，c=-3a，
∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，选项④正确，
则正确的选项有：①④．
故选D

点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定；c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定；b的符合由对称轴的位置与a的符合决定；抛物线与x轴的交点个数决定了根的判别式的符合，此外还有注意二次函数图象上的一些特殊点，比如1，-1或2对应函数值的正负．