Question

【题目】（问题背景）

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D

（简单应用）

（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝20°，∠ADC＝26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）

（问题探究）

（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，试求∠P的度数

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）23°；（3）26°

【解析】

（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题

（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，

在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

由（1）的结论得： ，

①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D，

∴∠P＝（∠B+∠D）＝23°；

（3）解：如图3，

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，

∵∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3），

∵∠P+∠1＝∠B+∠4，

∴2∠P＝∠B+∠D，

∴∠P＝（∠B+∠D）＝ ×（36°+16°）＝26°．

故答案为：（1）见解析；（2）23°；（3）26°．