Question

如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，

OB

OA

=

1

2

，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．
（1）求直线y=kx+3的解析式；
（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；
（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令x=0求出点B的坐标，从而得到OB的长度，再求出OA的长，然后得到点A的坐标，再代入直线解析式计算即可得解；
（2）设点C到x轴的距离为h，根据三角形的面积求出h，然后分两种情况表示出点C的纵坐标，再代入直线解析式计算求出横坐标，然后写出点C的坐标即可；
（3）利用勾股定理列式求出AB，然后分①BC和BO是对应边时，根据全等三角形对应边相等求出BC，过点C作CE⊥y轴于E，利用∠BCE的正弦求出BE的长，再求出点C的纵坐标，然后代入直线解析式求解得到点C的横坐标，从而得解；②BD和BO是对应边时，根据全等三角形对应边相等求出BD，再求出OD，即为点C的纵坐标，然后代入直线解析式求解得到点C的横坐标，从而得解．

解答：解：（1）令x=0，则y=3，
∴点B（0，3），OB=3，
∵

OB

OA

=

1

2

，
∴OA=2OB=2×3=6，
∴点A（6，0），
把点A代入直线y=kx+3得，6k+3=0，
解得k=-

1

2

，
∴直线解析式为y=-

1

2

x+3；

（2）设点C到x轴的距离为h，
由题意得，

1

2

×6h=6，
解得h=2，
∴点C的纵坐标为2或-2，
∴-

1

2

x+3=2或-

1

2

x+3=-2，
解得x=2或x=10，
∴点C的坐标为（2，2）或（10，2）；

（3）由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

62+32

=3

5

，
①BC和BO是对应边时，∵△BCD与△AOB全等，
∴BC=BO=3，
过点C作CE⊥y轴于E，则CE∥OA，
∴∠BCE=∠BAO，
∴BE=BC•sin∠BCE=3×

3

3 5

=

3 5

5

，
∴点C的纵坐标为3-

3 5

5

，
代入直线y=-

1

2

x+3得，-

1

2

x+3=3-

3 5

5

，
解得x=

6 5

5

，
此时，点C的坐标为C₁（

6 5

5

，3-

3 5

5

）；
②BD和BO是对应边时，∵△BCD与△AOB全等，
∴BD=BO=3，
∴OD=3+3=6，
∴点C的纵坐标为6，
代入直线y=-

1

2

x+3得，-

1

2

x+3=6，
解得x=-6，
此时，点C的坐标C₂（-6，6），
综上所述，点C（

6 5

5

，3-

3 5

5

）或（-6，6）时，△BCD与△AOB全等．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形对应边相等的性质，（2）难点在于点C的纵坐标有正数和负数两种情况，（3）难点在于OB的对应边有BC和BD两种情况．