Question

14．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（-2，-4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．
（1）若点M（2，a）是二次函数y=-ax²+ax-2图象上的“理想点”，求这个二次函数的表达式；
（2）函数y=ax²+ax-1（a为常数，a≠0）的图象上存在“理想点”吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据“理想点”，确定a的值，即可确定M点的坐标，代入反比例函数解析式，即可解答；
（2）假设函数y=ax²+ax-1（a为常数，a≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），则有ax²+ax-1=2x，整理得：ax²+（a-2）x-1=0，然后判断方程有两个不相等的根，即可解答．

解答 解：∵点M（2，a）是二次函数y=-ax²+ax-2图象上的“理想点”，
∴a=4，
∵点M（2，4）在二次函数y=-ax²+ax-2图象上，
∴4=-4a+2a-2，
解得a=-3，
∴二次函数的解析式为y=3x²-3x-2．
（2）假设函数y=ax²+ax-1（a为常数，a≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），
则有ax²+ax-1=2x，
整理得：ax²+（a-2）x-1=0，
∵（a-2）²+4a•（-1）=a²+4＞0，
∴函数y=ax²+ax-1（a为常数，a≠0）的图象上存在“理想点”．

点评 本题考查了二次函数图形上点的坐标特征，解决本题的关键是理解“理想点”的定义，确定点的坐标．