Question

25、（1）如表：方程1，方程2，方程3，…是按照一定规律排列的一列方程，解方程3，并将它的解填在表中：

序号	方程	方程的解
1	x2-2x-3=0	x1=-1	x2=3
2	x2-4x-12=0	x1=-2	x2=6
3	x2-6x-27=0	x1 -3	x2 9
…	…	…	…

（2）x₁=-10，x₂=30是不是（1）中所给的一列方程中的一个方程的两个根？
（3）请写出这列方程中第k个方程．

Answer 1

分析：（1）可以利用因式分解法解方程，按照前两个方程的根的书写规律，第一个根是负数，第二个是正数，填表即可；
（2）根据以上规律可知是，若x₁=-10，x₂=30是（1）中所给的一列方程，则一定是第10个方程，则方程一定是x²-20x-300=0，把x₁=-10，x₂=30分别代入进行验证即可．
（3）根据根与系数的关系可知第k次方程的解是x₁=-k，x₂=3k，则方程就是x²-2kx-3k²=0．

解答：解：（1）∵x²-6x-27=0
即（x+3）（x-9）=0
∴x+3=0或x-9=0
∴x₁=-3，x₂=9；

（2）是，x²-20x-300=0；验证：
当x=-10时，
左边=（-10）²-20×（-10）-300=0，
右边=0，
左边=右边；
∴x=-10是原方程的解；
当x=30时，
左边=30²-20×30-300=0，
右边=0，
左边=右边；
∴x=30是原方程的解；

（3）根与系数的关系可得：x₁=-k，x₂=3k；
∴方程为x²-2kx-3k²=0．

点评：本题不但考查了一元二次方程的解，而且考查了通过观察总结规律的能力．此题是个阅读型题目，首先通过阅读所给材料，从中找出隐含的规律，然后利用找到的规律解决一般情况的方程，题目也体现了从一般到特殊，再从特殊到一般的数学思想．