Question

19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的角平分线AE交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC．
（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若在AE上取一点F使BE=EF，求证：BF是∠ABC的平分线；
（3）在（2）的条件下，若DE=3，DF=2，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE、OB、OC．由题意可证明，于是得到∠BOE=∠COE，由等腰三角形三线合一的性质可证明OE⊥BC，于是可证明OE⊥l，故此可证明直线l与⊙O相切；
（2）由已知条件易证∠EBF=∠EFB，再根据∠EFB=∠BAE+∠ABF，∠EBF=∠CBE+∠CBF可证明∠ABF=∠CBF，进而可得BF是∠ABC的平分线；
（3）先求得BE的长，然后证明△BED∽△AEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF的长．

解答 解：（1）直线l与⊙O相切．
理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∴$\widehat{BE}=\widehat{CE}$．
∴∠BOE=∠COE．
又∵OB=OC，
∴OE⊥BC．
∵l∥BC，
∴OE⊥l．
∴直线l与⊙O相切．
（2）证明：
∵BE=EF，
∴∠EBF=∠EFB，
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∠EBF=∠CBE+∠CBF，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF，
∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，
∴∠ABF=∠CBF．
∴BF平分∠ABC；
（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=5．
∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，
∴△BED∽△AEB．
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{BE}{AE}$，
即$\frac{3}{5}=\frac{5}{AE}$，
解得：AE=$\frac{25}{3}$．
∴AF=AE-EF=$\frac{25}{3}$-5=$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得∠EBF=∠EFB是解题的关键．