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6.如图1,将矩形ABCD(AB<BC)先沿过点A的直线AF翻折,点D的对应点D′刚好落在边BC上,再将矩形ABCD沿过点A的直线AE翻折,使点B的对应点B′落在AD′上,EB′的延长线交AD于点H.
(1)若BC=2AB,请判断四边形AED′H的形状并说明理由;
(2)如图2,若点H与点D刚好重合,请判断△AEF的形状并说明理由.

分析 (1)根据矩形的性质得出AD=BC,AD∥BC,∠B=90°,求出AD′=2AB′,AB′=B′D′,根据平行线的性质得出∠HAD′=∠AD′E,∠AHE=∠HED′,根据AAS推出△AHB′≌△D′EB′,求出AH=D′E,根据菱形的判定得出即可;
(2)根据矩形的性质得出AB=DC,∠B=∠C=90°,AD∥BC,根据全等三角形的判定得出△DD′B′≌△DD′C,△ABE≌△ECF,根据全等三角形的性质得出DB′=DC=AB=AB′,AE=EF,∠BAE=∠CEF,求出∠AEF=90°,即可得出答案.

解答 解:(1)四边形AED′H是菱形,
理由是:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,∠B=90°,
∵AD=AD′,AB=AB′,BC=2AB,
∴AD′=2AB′,
即AB′=B′D′,
∵AD∥BC,
∴∠HAD′=∠AD′E,∠AHE=∠HED′,
在△AHB′和△D′EB′中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB′=∠D′EB′}\\{∠HAB′=∠ED′B′}\\{AB′=B′D′}\end{array}\right.$
∴△AHB′≌△D′EB′(AAS),
∴AH=D′E,
∵AH∥D′E,
∴四边形AED′H是平行四边形,
∵∠AB′E=∠B=90°,
即EH⊥AD′,
∴四边形AED′H是菱形;


(2)△AEF是等腰直角三角形,
理由是:如图2,连接DD′,FD′,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=90°,AD∥BC,
∴∠ADD′=∠DD′C,
∵AD=AD′,
∴∠ADD′=∠AD′D,
∴∠DD′A=∠DD′C,
∴△DD′B′≌△DD′C,
∴DB′=DC=AB=AB′,
∵∠AB′D=90°,
∴∠B′DA=∠B′DA=∠AD′E=∠DED′=45°,
∴EB′=B′D′=BE=CD′,
∵∠AD′B+∠FD′C=90°,
∴∠FD′C=∠D′FC=45°,
∴CD′=CF=BE,
∵∠CED=∠CDE=45°,
∴EC=CD=AB,
∴△ABE≌△ECF,
∴AE=EF,∠BAE=∠CEF,
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠AEB+∠CEF=90°,
即∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形.

点评 本题考查了矩形的性质,折叠的性质,菱形的判定,全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形的判定等知识点,能综合运用性质定理进行推理是解此题的关键.

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