Question

1．如图，矩形OACB的顶点O是坐标原点，顶点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，OA=8，OB=6，等腰直角三角形EFD按图①摆放（点D与点O重合）FD=10，连接AB，△EFD从图①位置出发，以每秒1个单位的速度沿OB方向匀速移动，同时，点M从A出发，以每秒2个单位沿AB-BC匀速移动，AO与△EFD的直角边相交于点N．当M到达点C时，△EFD同时停止运动，连接MN，设移动时间为t（s），t＞0．解答下列问题：

（1）求AB的解析式；
（2）在△EFD的移动过程中，当点E在AD上时t=5s；当E在AB上时，t=$\frac{29}{4}$s；
（3）记△EFD与△AOB重叠部分面积为S，直接写出S与t的函数关系式及相应自变量t的取值范围；
（4）在移动过程中，连接MN，是否存在△AMN为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B两点的坐标是多少；然后应用待定系数法，求出AB的解析式即可．
（2）首先作EG⊥x轴于点G，求出GO的长度是多少；再根据时间=路程÷速度，用GO的长度除以△EFD的运动速度，求出当点E在AD上时，t的值是多少；然后作EH⊥y轴于点H，求出EH的长度是多少；再根据时间=路程÷速度，用GO的长度与EH的长度和除以△EFD的运动速度，求出当点E在AB上时，t的值是多少即可．
（3）根据题意，分4种情况：①当0＜t≤5时；②当5＜t≤6时；③当6＜t≤$\frac{29}{4}$时；④当$\frac{29}{4}$＜t≤9时；分类讨论，求出△EFD与△AOB重叠部分面积S与t的函数关系式及相应自变量t的取值范围即可．
（4）根据题意，分两种情况：Ⅰ、当0＜t≤5时；Ⅱ、当5＜t≤9时；分类讨论，根据△AMN为直角三角形，求出t的值是多少即可．

解答 解：（1）∵OA=8，OB=6，
∴A点的坐标是（0，8），B两点的坐标是（6，0），
设AB的解析式为：y=kx+b
则$\left\{\begin{array}{l}8=b\\ 0=6k+b\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{3}\\ b=8\end{array}\right.$
∴AB的解析式为：$y=-\frac{4}{3}x+8$．

（2）①如图1，作EG⊥x轴于点G，
，
∵△EFD是等腰直角三角形，
∴点G是FD的中点，
∴GO=10÷2=5，
∴当点E在AD上时，
t=5÷1=5（s）；

②如图2，作EH⊥y轴于点H，
，
∵EH∥FD，
∴$\frac{EH}{OB}=\frac{AH}{AO}=\frac{8-5}{8}=\frac{3}{8}$，
∴EH=OB×$\frac{3}{8}$=6×$\frac{3}{8}=\frac{9}{4}$，
∴当E在AC上时，
t=（5$+\frac{9}{4}$）÷1=$\frac{29}{4}$（s）．

（3）①如图3，
，
当0＜t≤5时，
OD=t，
∵∠PDO=45°，
∴OP=OD=t，
∴S=$\frac{1}{2}$t²

②如图4，作EM⊥x轴于点M，EF与y轴交与点N，
，
当5＜t≤6时，
FO=FD-OD=10-t，
∵∠NFO=45°，
∴NO=FO=10-t，
∴S=S_△EFD-S_△NOF
=10×$5÷2-\frac{1}{2}（10-t）（10-t）$
=25-$\frac{1}{2}$t²+10t-50
=-$\frac{1}{2}$t²+10t-25

③如图5，
，
FO=FD-OD=10-t，
∵∠NFO=45°，
∴NO=FO=10-t，
设PQ=x，
则QD=x，
∵$\frac{x}{QB}=\frac{8}{6}$，
∴QB=$\frac{3}{4}x$，
∴BD=QD-QB=x-$\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}x=t-6$，
∴x=4t-24，
∴S=S_△EFD-S_△FNO-S_△PBD
=10×5÷2$-\frac{1}{2}$（10-t）²$-\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}x•x$
=25-$\frac{1}{2}$t²+10t-50$-\frac{1}{8}$×（4t-24）²
=-$\frac{1}{2}$t²+10t-25-2t²+24t-72
=-$\frac{5}{2}$t²+34t-97
④如图6，作HI⊥x轴于点I，EF与y轴交与点N，
，
∵OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}{+6}^{2}}=10$，
∴当M到达点C时，需要的时间是：
（10+8）÷2=18÷2=9（s），
当$\frac{29}{4}$＜t≤9时，
FO=FD-OD=10-t，
∵∠NFO=45°，
∴NO=FO=10-t，
设HI=x，
则FI=x，BI=$\frac{3}{4}x$，
∴x$+\frac{3}{4}x=10-t+6=16-t$，
解得x=$\frac{4}{7}（16-t）$，
∴S=$\frac{4}{7}（16-t）×（16-t）×\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$（10-t）²
=$\frac{2}{7}×$（t²-32t+256）$-\frac{1}{2}$t²+10t-50
=-$\frac{3}{14}$t²+$\frac{6}{7}t$+$\frac{162}{7}$
综上，可得
S=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{t^2}（0＜t≤5）\\-\frac{1}{2}{t^2}+10t-25（5＜t≤6）\\-\frac{5}{2}{t^2}+34t-97（6＜t≤\frac{29}{4}）\\-\frac{3}{14}{t^2}+\frac{6}{7}t+\frac{162}{7}（\frac{29}{4}＜t≤9）\end{array}\right.$

（4）Ⅰ、当0＜t≤5时，可得∠MAN≠90，AM=2t，AN=8-t，
①若∠AMN=90°，
则$\frac{4}{5}（8-t）=2t$，
∴$t=\frac{16}{7}$；
②若∠ANM=90°，
则$\frac{4}{5}•2t=8-t$，
∴$t=\frac{40}{13}$．
Ⅱ、当5＜t≤9时，可得∠MAN≠90°，MH=3t-20，BM=18-2t，
①若∠AMN=90°，t不存在；
②若∠ANM=90°，
则此时M，H重合，
∴3t-20=0，
∴t=$\frac{20}{3}$．
综上，可得当t的值为$\frac{16}{7}，\frac{40}{13}，\frac{20}{3}$时，△AMN为直角三角形．
故答案为：5、$\frac{29}{4}$．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．