Question

某工厂准备加工一批形状如下图所示的矩形窗子，其窗框用铝合金材料做成，窗框的内部安装透明玻璃，每个窗框的周长5米，一边长为x米，做成的窗框的透光面积为y米²．
（1）请写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）根据（1）中的函数关系式分别计算：①当x=1时，窗框的透光面积是多少？②当x为何值时，窗框的透光面积最大？最大面积是多少？
（3）现工厂准备按（2）中的两种不同透光面积加工矩形窗子共计60个（其中透光面积最大的窗子不少于48个）．已知铝合金每米的材料费为25元，玻璃每平方米的材料费为32元，现计划用不多于10480元的资金购买材料来加工矩形窗子，那么共有哪几种加工窗子的方案？

Answer 1

解：（1）矩形一边长为x米，另一边为米，
∴=，
自变量x的取值范围为0＜x＜；

（2）①∵y=，
∴当x=1时，，
即x=1米时，窗框的透光面积是米²．
②∵y==，又0＜＜，
∴当x=时，窗框的最大透光面积是米²．

（3）设加工透光面积最大的矩形窗子m个，则加工透光面积较小的矩形窗子为（60-m）个，
依题意得×32•m+×32•（60-m）+5×25×60≤10480，
解得：m≤50，又已知m≥48，
∴48≤m≤50，
∵m为整数，
∴m=48，49，50，
∴符合上述条件的共有三种加工方案，具体如下：
方案1：加工透光面积最大的矩形窗子48个，加工透光面积较小的矩形窗子12个；
方案2：加工透光面积最大的矩形窗子49个，加工透光面积较小的矩形窗子11个；
方案3：加工透光面积最大的矩形窗子50个，加工透光面积较小的矩形窗子10个．
分析：（1）窗框的周长5米，一边长为x米，根据矩形面积计算公式，可得出其函数关系式；
（2）①把x=1代入（1）中的关系式，可解答；②关系式y==，当x=时，可求出窗框的最大透光面积；
（3）根据题意可列出不等式，求出m并根据m的取值范围，可得出方案；
点评：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，考查了学生通过所学知识解决生活中实际问题的能力，注意未知数的取值范围必须使题目有意义，