Question

1．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$；④AF=2$\sqrt{5}$，其中正确结论的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据三角函数的定义得到tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，于是得到∠DBC≠30°，故②错误；由勾股定理得到BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根据相似三角形的性质得到AE=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45°，求得∠ACF=45°-∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据外角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2$\sqrt{5}$，故④正确．

解答 解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∵∠CAD=∠ADB，
∴∠BAE=∠CAD，故①正确；
∵BC=4，CD=2，
∴tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DBC≠30°，故②错误；
∵BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB=CD=2，AD=BC=4，
∵△ABE∽△DBA，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{BD}$，
即$\frac{AE}{4}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴AE=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$；故③正确；
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=45°，
∴∠ACF=45°-∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，
∴∠EAC=90°-2∠ACB，
∴∠EAC=2∠ACF，
∵∠EAC=∠ACF+∠F，
∴∠ACF=∠F，
∴AF=AC，
∵AC=BD=2$\sqrt{5}$，
∴AF=2$\sqrt{5}$，故④正确；
故选C．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．