Question

如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（1，a）是该直线与双曲线y=

m

x

的一个交点，过点C作CD垂直y轴，垂足为D，且S_△BCD=1．
（1）求双曲线的解析式．
（2）设直线与双曲线的另一个交点为E，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据△BCD的面积是1求出BD的值，进而得出B、D两点的坐标求出a的值，再把点C的坐标代入双曲线y=

m

x

的即可求出双曲线的解析式；
（2）把C点坐标代入直线y=kx+2即可得出k的值，进而得出直线AB的解析式，在解直线与双曲线解析式组成的方程组即可求出点E的坐标．

解答：解：（1）∵△BCD的面积为1，
∴

1

2

BD•CD=

1

2

×1×BD=1即BD=2，
又∵点B是直线y=kx+2与y轴的交点，
∴点B的坐标为（0，2）．
∴点D的坐标为（0，4），
∵CD⊥y轴；
∴点C的纵坐标为4，即a=4，
∵点C在双曲线上，
∴将x=1，y=4，代入y=

m

x

，得m=4，
∴双曲线的解析式为y=

4

x

；

（2）∵点C（1，4）在直线y=kx+2上，
∴4=k+2，k=2，
∴直线AB的解析式为y=2x+2．

联立方程组：

y= 4 x y=2x+2

，解得

x1=1 y1=4

x2=-2 y2=-2

经检验，是方程组的解，
故E（-2，-2）．

点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式及三角形的面积，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．