Question

4．如图，在四边形ABCD中，AB=8，AC=4$\sqrt{5}$，∠ABC=90°，AB=AD，BC=CD，过点D作DE∥BC，交AB于点E，连接AC，BD，AC与BD交于点F．
求：（1）四边形ABCD的周长；
（2）AF的长度；
（3）△ADE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，然后根据已知条件即可得到结论；
（2）由AB=AD，BC=CD，得到AC是BD的垂直平分线，根据三角形的面积公式得到BF=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，由勾股定理即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式得到DE=$\frac{32}{5}$，根据平行线的性质得到∠AED=∠ABC=90°，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AB=8，AC=4$\sqrt{5}$，∠ABC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
∵AB=AD=8，BC=CD=4，
∴四边形ABCD的周长=2×（8+4）=24；

（2）∵AB=AD，BC=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴∠AFB=90°，
∴BF=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$；

（3）∵BD=2BF=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AF=$\frac{1}{2}$AB•DE，
∴DE=$\frac{32}{5}$，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC=90°，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DE=$\frac{1}{2}$×$\frac{24}{5}$×$\frac{32}{5}$=$\frac{384}{25}$．

点评 本题考查了勾股定理，三角形面积的计算，线段垂直平分线的性质，证得AC是BD的垂直平分线是解题的关键．