Question

如图，⊙O₂与⊙O₁的弦BC切于C点，两圆的另一个交点为D，动点A在⊙O₁上，直线AD与⊙O₂交于点E，与直线BC交于点F．
（1）如图①，当A在弧CD上时，求证：①△FDC∽△FCE；②AB∥EC；
（2）如图②，当A在弧BD上时，是否仍有AB∥EC？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）①在△FDC与△FCE中，由弦切角定理得：∠D=∠FCE，已知公共角∠F，由此可判定两三角形相似，②根据平行线的判定，只需证明∠FCE=∠B；①中证得∠D=∠FCE，而⊙O₁中，根据圆周角定理，可得∠D=∠B，将等角代换可得出∠B=∠FCE，由此得证；
（2）根据平行线的判定，只需证明∠FCE=∠FBA，思路同（1）②，根据圆内接四边形的性质，得∠FBA=∠FDC；由弦切角定理，得∠FCE=∠FDC，将等角代换后可证得所求的结论．
解答：（1）证明：
①∵BC为⊙O₂的切线
∴∠D=∠FCE
又∠F=∠F
∴△FDC∽△FCE，
②在⊙O₁中，∠B=∠D
又∠FCE=∠B
∴AB∥EC；

（2）解：仍有AB∥EC．
证明：∵四边形ABCD是⊙O₁的内接四边形
∴∠FBA=∠FDC
∵BC为⊙O₂的切线
∴∠FCE=∠FDC
∴∠FCE=∠FBA
∴AB∥EC．
点评：本题主要考查弦切角定理，相似三角形的判定及平行线的判定，难度适中．