Question

如图，已知直线与双曲线在第一象限交于A点，且点A的横坐标为4，点B在双曲线上．
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）若点B的纵坐标为8，试判断△OAB形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）将x=4代入，得y=2，
∴点A的坐标为（4，2），
将A（4，2）代入，得k=8，
∴；

（2）△OAB是直角三角形．
理由：y=8代入中，得x=1，
∴B点的坐标为（1，8），
又A（4，2），O（0，0），
由两点间距离公式得，，，
∵OA²+AB²=20+45=65=OB²，
∴△OAB是直角三角形．
分析：（1）将A点横坐标x=4代入中，得A点纵坐标y=2，可知点A的坐标为（4，2），再将A（4，2）代入求k即可；
（2）点B在双曲线上，将y=8代入得x=1，即B（1，8），已知A（4，2），O（0，0），根据两点间距离公式分别求OA，AB，OB，利用勾股定理的逆定理证明△OAB是直角三角形．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标求法，反比例函数关系式的求法，直角三角形的判定．关键是利用交点坐标将问题过渡．