Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证：直线AD是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：连结OA，根据圆周角定理由BC为⊙O直径得∠BAC=90°，则∠B+∠ACB=90°，而∠ACB=∠OAC，所以∠B+∠OAC=90°，加上∠CAD=∠B，则∠CAD+∠OAC=90°，则OA⊥AD，于是可根据切线的判定定理得到直线AD是⊙O的切线．

解答：证明：连结OA，如图，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
而OC=OA，
∴∠ACB=∠OAC，
∴∠B+∠OAC=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∴直线AD是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．