Question

13．平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+2过点A（-3，0）、B （1，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，点G在抛物线上且其纵坐标为2．
（1）a=-$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{4}{3}$，D（-1，$\frac{8}{3}$）．
（2）P是线段AB上一动点（点P不与A、B重合），点P作x轴的垂线交抛物线于点E．
①若PE=PB，试求E点坐标；
②在①的条件下，PE、DG交于点M，在线段PE上是否存一点N，使得△DMN与△DCO相似？若存在，试求出相应点的坐标；
③在①的条件下，点F是坐标轴上一点，且点F到EC、ED的距离相等，试直接写出EF的长度．

Answer 1

分析 （1）先求得点C（0，2），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将点C的坐标代入可求得a的值，然后可得到抛物线的解析式，利用抛物线的顶点坐标公式可求得D的坐标
（2）①设P（x，0），则E（x，-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2），则PB=1-x，PE=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，然后依据PE=PB列方程求解即可；②过点G作GH⊥x轴，垂足为H，连结DH，先求得点G和点H的坐标以及抛物线的对称轴方程，从而可知△DOC与△DHG关于直线x=-1对称，要使DMN与△DCO相似，只需△DMN与△DGH相似．然后证明△DMN∽△DGH，接下来再求得直线DH的解析式，由直线DH的解析式可求得点N的坐标；③过点E作EF⊥y轴，交抛物线的对称轴与点G，则G（-1，$\frac{5}{2}$）过点E作EF′⊥x垂足为F′，先证明EF和EF′分别为∠DEC和∠HEC的角平分线，则EF和EF′到EC、ED的距离相等，由点E的坐标可求求得EF和EF′的长即可．

解答 解：（1）把x=0代入抛物线的解析式得：y=2，
∴C（0，2）．
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将点C的坐标代入得-3a=2，解得：a=-$\frac{2}{3}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$（x+3）（x-1）=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2．
∴b=-$\frac{4}{3}$．
∴x=-$\frac{b}{2a}$=-1．
当x=-1时，y=$\frac{8}{3}$．
∴D（-1，$\frac{8}{3}$）．
故答案为：-$\frac{2}{3}$；-$\frac{4}{3}$；-1，$\frac{8}{3}$．

（2）①设P（x，0），则E（x，-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2），则PB=1-x，PE=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2．
∵PE=PB，
∴-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=1-x．
∴x₁=1（舍去），x₂=-$\frac{3}{2}$．
当x=-$\frac{3}{2}$，函数值y=$\frac{5}{2}$．
∴E（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
②存在点N（-$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{3}$），理由如下：过点G作GH⊥x轴，垂足为H，连结DH．

把y=2代入抛物线的解析式得：2=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2，解得x=0或x=-2．
∴G（-2，2）．
抛物线的对称轴为x=-1，
∵GH⊥x轴，
∴H（-2，0）．
∴△DOC与△DHG关于直线x=-1对称．
∴要使DMN与△DCO相似，只需△DMN与△DGH相似．
∵MN∥GH，
∴△DMN∽△DGH．
设直线DH的解析式为y=kx+b，将点H和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{-k+b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{8}{3}$，b=$\frac{16}{3}$．
∴直线DH的解析式为y=$\frac{8}{3}$x+$\frac{16}{3}$．
将x=-$\frac{3}{2}$代入得：y=$\frac{4}{3}$．
∴N（-$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{3}$）．
③如图2所示：过点E作EF⊥y轴，交抛物线的对称轴与点G，则G（-1，$\frac{5}{2}$）过点E作EF′⊥x垂足为F′．

设直线EC的解析式为y=mx+n将点E和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{-\frac{3}{2}m+n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{1}{3}$，n=2．
∴直线EC的解析式为y=$-\frac{1}{3}$x+2．
当x=-1时，y=$\frac{7}{3}$．
∴DG=GM．
∴点M与点D关于EF对称．
∴EF是∠DEC的角平分线．
∴点F到点F到EC、ED的距离相等．
∴EF=$\frac{3}{2}$．
∵EF′⊥x垂足为F′．
∴∠FEF′=90°，
∴∠DEF+∠HEF′=90°，∠FEC+∠CEF′=90°．
又∵∠DEF=∠FEC，
∴∠HEF′=∠CEF′．
∴EF′是∠HEC的平分线，
∴点F′到DE和EC的距离相等．
∴EF′=$\frac{5}{2}$．
综上所述，EF的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定，角平分线的性质，利用直线DH的解析式求得点N的坐标是解答问题（2）的关键，证得EF和EF′分别为∠DEC和∠HEC的角平分线是解答问题（3）的关键．