Question

如图，已知直线AB交两坐标于A、B两点，且OA=OB=1，点P（a、b）是双曲线y=

1

2x

上在第一象内的点过点P作PM⊥x轴于M、PN⊥y轴于N．两垂线与直线AB交于E、F．
（1）分别写出点E、F的坐标（分别用a或b表示）；
（2）求△OEF的面积（结果用a、b表示）；
（3）△AOF与△BOE是否相似？请说明理由；
（4）当P在双曲线y=

1

2x

上移动时，△OEF随之变动，观察变化过程，△OEF三内角中有无大小始终保持不变的内角？若有，请指出它的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线EF的解析式为y=kx+b，把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，运用待定系数法求出直线EF的解析式，由点P（a，b）是反比例函数y=

1

2x

图象上的点，得出b=

1

2a

，又点E的横坐标为a，点F的纵坐标为b即

1

2a

，分别把x=a，y=

1

2a

代入直线EF的解析式，即可求出对应的值，从而得出结果；
（2）根据点E、F的坐标，分别表示出NF、ME、EP、FP的长度，然后利用S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△EPF，列式并进行整理即可得到△OEF的面积；
（3）在△BOE与△AOF中，由于∠OBA=∠OAB=45°，根据相似三角形的判定，可分别计算BE：OB与OA：AF的值，如果它们相等，那么△AOF∽△BEO，否则，就不相似；
（4）根据相似三角形的对应角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和得出∠FOE=∠EAO=45°．

解答：解：（1）设直线EF的解析式为y=kx+b，
由题知A（1，0），B（0，1），
把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
得k+b=0，b=1，
解得k=-1，b=1．
∴y=-x+1．
∵点P（a，b）是反比例函数y=

1

2x

图象上的点，
∴b=

1

2a

．
∴E（a，1-a），F（1-

1

2a

，

1

2a

）；

（2）∵点E、F的坐标分别为E（a，1-a），F（1-b，b），
∴NF=1-b，ME=1-a，EP=b-（1-a）=a+b-1，FP=a-（1-b）=a+b-1，
∵S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△EPF，
∴S_△OEF=ab-

1

2

×b（1-b）-

1

2

×a（1-a）-

1

2

×（a+b-1）×（a+b-1），
=

1

2

（a+b-1）；
即S_△OEF=

1

2

（a+b-1）；

（3）△AOF与△BOE一定相似．
理由如下：
∵OA=OB=1，
∴AB=

2

，∠OBA=∠OAB=45°，
∴AE=

2

AM=

2

（1-a），BF=

2

BN=

2

（1-

1

2a

），
∴BE=BA-AE=

2

a，AF=BA-BF=

2

2a

，
∴BE•AF=

2

2a

×

2

a=1，
又∵OA•OB=1×1=1，
∴BE•AF=OA•OB，
∴

BE

OB

=

OA

AF

，
又∵∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（4）∠FOE=45°，角度始终不变．
理由如下：
∵△AOF∽△BEO，
∴∠FOA=∠OEB，
∴∠FOE+∠EOA=∠EOA+∠EAO，
得∠FOE=∠EAO=45°．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定及性质，一次函数与反比例函数的关系，通过解方程求交点坐标等知识．综合性强，有一定难度．