【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过B(3,0),C(0,-3)两点,点D为顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点E在抛物线的对称轴上,F在BD上,求BE+EF的最小值;
(3)点P是抛物线第四象限的点(不与B、C重合),连接PB,以PB为边作正方形BPMN,当点M或N恰好落在对称轴上时,求出对应的P点的坐标(结果保留根号).
【答案】(1),D(1,-4);(2);(3)或
【解析】
(1)把B、C点的坐标代入抛物线方程,利用待定系数法,可以把方程中的未知数求解出来,从而得到抛物线的表达式,把解析式整理成顶点式,即可得到顶点D的坐标;
(2)利用对称轴的性质,知道AE=BE,从而把BE+EF的长度转换成AF的长度,求出BE+EF的最小值;
(3)利用全等三角形的性质,根据已知线段可求得相应坐标.
解:(1)把B、C点的坐标代入抛物线方程得到:
解得
∴表达式为,
又∵,
所以顶点的坐标为D(1,-4),
(2)如图1,连接BD,过A作AF⊥BD于F,交对称轴于点E,
图1
∵E点在抛物线的对称轴上
∴AE=BE
则BE+EF=AE+EF=AF
又因为两点之间垂线段最短
所以所做的AF为所求的最小值
由三角形的面积公式可以得到 (h是三角形ABD以AB为边的高)
又由题意可知,,
所以,
因此:,
∴BE+EF的最小值为.
(3)当点N在对称轴上时,如图2,过点P作PF⊥OB于点F,
图2
∵四边形PBNM是正方形 , ∴,
又∵,∴,
在和中
∵
∴(AAS),
∴ ,
设点P的坐标为(),则,整理得
解得:,(舍去)
∴
当点M在对称轴上时,如图3,过点P作PG⊥OB于点G,过点P作PF⊥MD于点F,
同理可证:,∴
图3
设,代入得,
解得:,(舍去)
当时,,
综上所述:对应的P点的坐标有或
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【题目】二次函数的图象如图,点位于坐标原点,点,,,…,在轴的正半轴上,点,,,…,在二次函数位于第一象限的图象上,,,,…,都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形,则的斜边长为________.
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【题目】如图,网格中每个小正方形的边长均为1,线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中以AB为边画Rt△BAC,点C在小正方形的顶点上,使∠BAC=90°,tan∠ACB=;
(2)在(1)的条件下,在图中画以EF为边且面积为3的△DEF,点D在小正方形的顶点上,连接CD、BD,使△BDC是锐角等腰三角形,直接写出∠DBC的正切值.
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【题目】如图,在网格图中建立平面直角坐标系,的顶点坐标为、、.
(1)若将向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,请画出平移后的;
(2)画出绕C1顺时针方向旋转90°后得到的;
(3)与是中心对称图形,请写出对称中心的坐标: ;并计算的面积: .
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【题目】为构建“魅力雨花,和谐雨花,人文雨花”,规划在圭塘河上修建一座观光人行桥(如图1),此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成,桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形,观光人行桥的正规图如图2所示,已知桥面上三组拱桥都为相同的抛物线的一部分,拱高(抛物线最高点到桥面的距离)为16米,三条抛物线依次与桥面AB相较于点A,C,D,B.
(1)求桥长AB;
(2)已知一组桥拱的造价为a万元,桥面每米的平均造价为b万元.若一组桥拱的造价为整个桥面造价的,这座观光桥的总造价为504万元,求a,b的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数与一次函数交于第二、四象限的,两点,过点作轴于点,,,点的坐标为.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)请根据图象直接写出的自变量的取值范围.
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【题目】某商店以固定进价一次性购进一种商品,3月份按一定售价销售,销售额为2400元,为扩大销量,减少库存,4月份在3月份售价基础上打9折销售,结果销售量增加30件,销售额增加840元.
(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元?
(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元,那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元?
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【题目】如图,正方形中,对角线交于点,折叠正方形纸片,使落在上,点恰好与上的点重合,展开后折痕分别交于点,连给出下列结论,其中正确的个数有( )
①;②;③四边形是菱形;④.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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