【题目】如图1,已知抛物线L:y=ax2+bx﹣1.5(a>0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,顶点为M,对称轴为直线l:x=1.
(1)直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2+bx﹣1.5=0的解.
(2)求抛物线L的解析式及顶点M的坐标.
(3)如图2,设点P是抛物线L上的一个动点,将抛物线L平移.使它的頂点移至点P,得到新抛物线L′,L′与直线l相交于点N.设点P的横坐标为m
①当m=5时,PM与PN有怎样的数量关系?请说明理由.
②当m为大于1的任意实数时,①中的关系式还成立吗?为什么?
③是否存在这样的点P,使△PMN为等边三角形?若存在.请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)x1=﹣1,x2=3;(2)y=0.5x2﹣x﹣1.5,顶点M的坐标为(1,﹣2);(3)①PM=PN;理由见解析;②PM=PN仍然成立.理由见解析;③点P的坐标为(,﹣).
【解析】
(1)由y=ax2+bx-1.5(a>0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,对称轴为直线l:x=1,根据抛物线的对称性可求得B点坐标,根据二次函数与一元二次方程的关系可得A、B两点横坐标的值即为一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解;
(2)把A、B两点的坐标代入y=ax2+bx-1.5,得到关于a、b的二元一次方程组,解方程组求出a、b的值,得到抛物线L的解析式,再利用配方法化为顶点式,即可得到顶点M的坐标;
(3)作PC⊥l于点C.
①根据点P是抛物线L上的一个动点及(2)中所求解析式,当m=5时,把x=5代入y=(x-1)2-2,求出y=6,得到P点坐标,从而得到点C的坐标,由点P为新抛物线L′的顶点及解析式平移的规律得出L′的解析式,再求出点N的坐标,通过计算得出CM=CN,然后根据线段垂直平分线的性质即可得出PM=PN;
②根据点P是抛物线L上的一个动点及(2)中所求解析式,得出点P的坐标为(m,m2-m-1.5),从而得到点C的坐标,由点P为新抛物线L′的顶点及解析式平移的规律得出L′的解析式为y=(x-m)2+m2-m-1.5,再求出点N的坐标,通过计算得出CM=CN,然后根据线段垂直平分线的性质即可得出PM=PN;
③当△PMN为等边三角形时,根据等腰三角形三线合一的性质得出PC平分∠MPN,即∠CPN=30°,利用正切函数定义得出=tan30°,即m2-m+1.5=(m-1),解方程求出m的值,进而得到点P的坐标.
(1)如图1,
∵y=ax2+bx-1.5(a>0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,对称轴为直线l:x=1,
∴点A和点B关于直线l:x=1对称,
∴点B(3,0),
∴一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解为x1=-1,x2=3;
(2)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-1.5,
得,
解得,
抛物线L的解析式为y=x2-x-1.5,
配方得,y=(x-1)2-2,
所以顶点M的坐标为(1,-2);
(3)如图2,作PC⊥l于点C.
①∵y=(x-1)2-2,
∴当m=5,即x=5时,y=6,
∴P(5,6),
∴此时L′的解析式为y=(x-5)2+6,点C的坐标是(1,6).
∵当x=1时,y=14,
∴点N的坐标是(1,14).
∵CM=6-(-2)=8,CN=14-6=8,
∴CM=CN.
∵PC垂直平分线段MN,
∴PM=PN;
②PM=PN仍然成立.
由题意有点P的坐标为(m,m2-m-1.5).
∵L′的解析式为y=(x-m)2+m2-m-1.5,
∴点C的坐标是(1,m2-m-1.5),
∴CM=m2-m-1.5+2=m2-m+.
∵在L′的解析式y=(x-m)2+m2-m-1.5中,
∴当x=1时,y=m2-2m-1,
∴点N的坐标是(1,m2-2m-1),
∴CN=(m2-2m-1)-(m2-m-1.5)=m2-m+,
∴CM=CN.
∵PC垂直平分线段MN,
∴PM=PN;
③存在这样的点P,使△PMN为等边三角形.
若=tan30°,则m2-m+=(m-1),
解得m=,
所以点P的坐标为(,-).
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【题目】已知,如图,在△ABC中,AB=9,BC=12,点D是BC的中点,联结AD,AD=9,点E在AD边上,且,联结BE.
(1)求证:△BED∽△ABD;
(2)联结CE,求∠CED 的正切值.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠C=90°,以AB为直径的⊙O交AD于点E,CD=ED,连接BD交⊙O于点F.
(1)求证:BC与⊙O相切;
(2)若BD=10,AB=13,求AE的长.
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【题目】四川省芦山县4月20日发生了7.0级强烈地震,政府为了尽快搭建板房安置灾民,给某厂下达了生产A种板材48000m2和B种板材24000m2的任务.
⑴如果该厂安排280人生产这两种板材,每人每天能生产A种板材60 m2或B种板材40 m2,请问:应分别安排多少人生产A种板材和B种板材,才能确保同时完成各自的生产任务?
⑵某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间,已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示:
板房 | A种板材(m2) | B种板材(m2) | 安置人数 |
甲型 | 110 | 61 | 12 |
乙型 | 160 | 53 | 10 |
①共有多少种建房方案可供选择?
②若这个灾民安置点有4700名灾民需要安置,这400间板房能否满足需要?若不能满足请说明理由;若能满足,请说明应选择什么方案.
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【题目】某中学举行了“校园好声音”演唱比赛活动,根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级,并绘制了不完整的两种统计图.
根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)求参加演唱比赛的学生共有多少人,并把条形图补充完整;
(2)求出扇形统计图中,m= ,n= ;
(3)求出C等级对应扇形的圆心角的度数.
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【题目】在平面直角坐标系中,△ABC 顶点 A(2,3).若以原点 O 为位似中心,画三角形 ABC
的位似图形△A′B′C′,使△ABC 与△A′B′C′的相似比为,则 A′的坐标为( )
A. (3, ) B. ( ,6) C. (3, )或(-3,- ) D. ( ,6)或(- ,-6)
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【题目】边长为6的等边△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DE∥AB,EC=2.
(1)如图1,将△DEC沿射线EC方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N,当CC′多大时,四边形MCND′为菱形?并说明理由.
(2)如图2,将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,连接AD′、BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系?并说明理由;
②连接AP,当AP最大时,求AD′的值.(结果保留根号)
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【题目】如图,已知:AB为⊙O直径,PQ与⊙O交于点C,AD⊥PQ于点D,且AC为∠DAB的平分线,BE⊥PQ于点E.
(1)求证:PQ与⊙O相切;
(2)求证:点C是DE的中点.
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【题目】某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元.每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;
(2)经调查,若每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润,每件应降价多少元?
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