Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的剧烈为碟高．
（1）抛物线y=x2对应的碟宽为；抛物线y= x2对应的碟宽为；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为；抛物线y=a（x﹣3）2+2（a＞0）对应的碟宽为；
（2）利用图（1）中的结论：抛物线y=ax2﹣4ax﹣ （a＞0）对应的碟宽为6，求抛物线的解析式．
（3）将抛物线yn=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3，…），定义F1 ， F2 ， …..Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn﹣1的相似比为 ，且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1 ， 其对应的准蝶形记为F1 ．
①求抛物线y2的表达式；
②若F1的碟高为h1 ， F2的碟高为h2 ， …Fn的碟高为hn ． 则hn= ， Fn的碟宽右端点横坐标为 ．

Answer 1

【答案】
（1）2；4；；
（2）

解：由（1）可知碟宽为 =6，

∴a= ，

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣

（3）；3+
【解析】解：（1）根据碟宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．①把B（m，m）代入y=x2 ， 得到m=1或0（舍弃），
∴A（﹣1，1），B（1，1），
∴AB=2，即碟宽为2．②把B（m，m）代入y= x2 ， 得到m=2或0（舍弃），
∴A（﹣2，2），B（2，2），
∴AB=4，即碟宽为4．③把B（m，m）代入y=ax2 ， 得到m= 或0（舍弃），
∴A（﹣ ， ），B（ ， ），
∴AB= ，即碟宽为 ．④根据碟宽的定义以及等腰直角三角形的性质，碟宽的大小与顶点的位置无关，所以 ．
故答案分别为2，4， ， ．（3）①∵y1= x2﹣ x﹣ = （x﹣2）2﹣3的碟宽AB在x轴上，（A在B左边），
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴抛物线y2的顶点坐标为（2，0），
∵F2的碟宽：F1的碟宽=1：2，
∴ ： =1：2，
∵a1= ，
∴a2= ，
∴抛物线y2的解析式为y= （x﹣2）2 ． ②∵hn：hn﹣1=1：2，h1=3，
∴h2= ，h3= ，h4= ，…，hn= ，
点碟宽右端点B的 横坐标，B1的横坐标3，B2的横坐标为3+ ，B3的横坐标为3+ ，B4的横坐标为3+ ，…Bn的横坐标为3+ ，
所以答案是 ，3+ ．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的概念(一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数)，还要掌握二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)的相关知识才是答题的关键．