Question

19．如图，在直角坐标系中，直线l：y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x=-2交AB于点C，D是直线x=-2上一动点，且在点C的上方，设D（-2，m）
（1）求点O到直线AB的距离；
（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点M，使|ME-MD|最大，请求出|ME-MD|的最大值以及M点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线l：y=$\frac{4}{3}$x+8左右平移，平移的距离为t（t＞0时，往右平移；t＜0时，往左平移）平移后直线上点A，点B的对应点分别为点A′、点B′，当△A′B′D为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）分别将x=0、y=0代入一次函数解析式中求出与之对应的y、x的值，从而得出点A、B的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段AB的长度，利用面积法即可求出点O到直线AB的距离；
（2）将x=-2代入直线AB解析式中即可求出点C的坐标，利用分割图形求面积法结合四边形AOBD的面积为38即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m值，在x轴负半轴上找出点E关于y轴对称的点E′（-8，0），连接E′D并延长交y轴于点M，连接DM，根据三角形三边关系即可得出此时|ME-MD|最大，最大值为线段DE′的长度，由点D、E′的坐标利用待定系数法即可求出直线DE′的解析式，将x=0代入其中即可得出此时点M的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段DE′的长度即可；
（3）根据平移的性质找出平移后直线A′B′的解析式，将x=0、y=0分别代入直线A′B′解析式中即可找出点A′、B′的坐标，结合点D的坐标利用两点间的距离公式即可找出B′D、A′B′、A′D的长度，再根据等腰三角形的性质即可得出关于t的方程，解之即可得出t值，此题得解．

解答 解：（1）当x=0时，y=$\frac{4}{3}$x+8=8，
∴A（0，8），
∴OA=8；
当y=$\frac{4}{3}$x+8=0时，y=-6，
∴B（-6，0），
∴OB=6．
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∴点O到直线AB的距离=$\frac{OA•OB}{AB}$=4.8．

（2）当x=-2时，y=$\frac{4}{3}$x+8=$\frac{16}{3}$，
∴C（-2，$\frac{16}{3}$），
∴S_{四边形AOBD}=S_△ABD+S_△AOB=$\frac{1}{2}$CD•（x_A-x_B）+$\frac{1}{2}$OA•OB=3m+8=38，
解得：m=10，
∴当四边形AOBD的面积为38时，点D的坐标为（-2，10）．
在x轴负半轴上找出点E关于y轴对称的点E′（-8，0），连接E′D并延长交y轴于点M，连接DM，此时|ME-MD|最大，最大值为线段DE′的长度，如图1所示．
DE′=$\sqrt{[（-2）-（-8）]^{2}+（10-0）^{2}}$=4$\sqrt{34}$．
设直线DE′的解析式为y=kx+b（k≠0），
将D（-2，10）、E′（-8，0）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=10}\\{-8k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=\frac{40}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线DE′的解析式为y=$\frac{5}{3}$x+$\frac{40}{3}$，
∴点M的坐标为（0，$\frac{40}{3}$）．
故当点M的坐标为（0，$\frac{40}{3}$）时，|ME-MD|取最大值4$\sqrt{34}$．

（3）直线l平移后的解析式为y=$\frac{4}{3}$（x-t）+8，
当x=0时，y=$\frac{4}{3}$（x-t）+8=8-$\frac{4}{3}$t，
∴点A′（0，8-$\frac{4}{3}$t）；
当y=$\frac{4}{3}$（x-t）+8=0时，x=t-6，
∴点B′（t-6，0）．
∵点D（-2，10），
∴B′D=$\sqrt{[t-6-（-2{）]}^{2}+（0-10）^{2}}$=$\sqrt{（t-4）^{2}+100}$，A′B′=$\sqrt{（t-6）^{2}+[0-（8-\frac{4}{3}t）]^{2}}$=|10-$\frac{5}{3}$t|，A′D=$\sqrt{[0-（-2）]^{2}+（8-\frac{4}{3}t-10）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{3}t+2）^{2}+4}$．
△A′B′D为等腰三角形分三种情况：
①当B′D=A′D时，有$\sqrt{（t-4）^{2}+100}$=$\sqrt{（\frac{4}{3}t+2）^{2}+4}$，
解得：t₁=-$\frac{162}{7}$，t₂=6；
②当B′D=A′B′时，有$\sqrt{（t-4）^{2}+100}$=|10-$\frac{5}{3}$t|，
解得：t₃=-$\frac{285}{8}$，t₄=$\frac{399}{8}$；
③当A′B′=A′D时，有|10-$\frac{5}{3}$t|=$\sqrt{（\frac{4}{3}t+2）^{2}+4}$，
解得：t₅=$\frac{58-2\sqrt{634}}{3}$，t₆=$\frac{58+2\sqrt{634}}{3}$．
综上所述：当△A′B′D为等腰三角形时，t的值为-$\frac{162}{7}$、6、-$\frac{285}{8}$、$\frac{399}{8}$、$\frac{58-2\sqrt{634}}{3}$或$\frac{58+2\sqrt{634}}{3}$．

点评 本题考查了一次函数的综合应用、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用面积法求出点O到直线AB的距离；（2）找出|ME-MD|取最大值时，点M的位置；（3）根据等腰三角形的性质找出关于t的方程．