Question

15．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；
（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8-x，CM=10-6=4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．

解答 （1）证明：∵折叠，
∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，
∴∠ANF=90°，∠CME=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴AM=CN，
∴AM-MN=CN-MN，
即AN=CM，
在△ANF和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAN=∠ECM}\\{AN=CM}\\{∠ANF=∠CME}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△CME（ASA），
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，
设CE=x，则EM=8-x，CM=10-6=4，
在Rt△CEM中，
（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．

点评 本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．