Question

已知二次函数的图象经过点A（-3，-6），并且该抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴的交点为E，P为抛物线的顶点．如图所示．
（1）求这个二次函数表达式．
（2）设点D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，说明直线PC与直线AC的位置关系，并求出点D的坐标．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在一点F，使S_△BCF=S_△BCP？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（-3，-6）在抛物线上，
∴-6=-×9-3m+，
解得m=1，
∴所求二次函数的表达式为y=-x²+x+；
（2）∵y=-x²+x+=-（x-1）²+2，
∴P点坐标为（1，2），
如图，设点D坐标为（a，0），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q，
令y=0得-x²+x+=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴B点坐标为（-1，0），C点坐标为（3，0）
∵P（1，2），A（-3，-6），
∴PH=HC=2，QA=QC=6，
∴△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，
∴∠PCH=45°，∠ACQ=45°，
∴∠PCA=90°，
∴PC⊥CA；
∵∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB，
∴△PDC∽Rt△ABC，
∴=，即=，解得a=，
∴D坐标为（，0）；
（3）存在．
∵S_△BCP=×4×2=4，
而S_△BCF=S_△BCP，
∴S_△BCF=3，
设F点坐标为（x，y）
∴×4×|y|=3，
∴y=或-，
当y=时，-x²+x+=，解得x₁=0，x₂=2；
当y=-时，-x²+x+=-，解得x₁=1+，x₂=1-，
∴F（0，）或（2，）或（1+，-）或（1-，-）．
分析：（1）把A点坐标代入二次函数可求出m，从而确定二次函数的解析式；
（2）先把二次函数配成顶点式得到顶点P的坐标为（1，2），设点D坐标为（a，0），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q，根据点的坐标可得到
△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，则∠PCH=45°，∠ACQ=45°，于是得到直线PC与直线AC垂直；由∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB得到△PDC∽Rt△ABC，根据相似比有
=，即=，解得a=，从而得到D点坐标；
（3）先计算出S_△BCP=4，则S_△BCF=S_△BCP=3，设F点坐标为（x，y），则×4×|y|=3，解得y=或-，然后分别代入二次函数解析式中求出对应的x的值，从而得到F点的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合题：先根据几何条件确定抛物线上点的坐标，再利用待定系数法确定抛物线的解析式，然后运用二次函数的性质解决有关问题．