Question

如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O直径，将△BCD沿BD所在的直线翻折后，得到点C的对应点N仍在⊙O上，BN交AD与点M．若∠AMB＝60°，⊙O的半径是3 cm．

(1)求点O到线段ND的距离．

(2)过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：(法一)：过点O作OG⊥ND于点G 　　∴∠OGD＝90° 　　∵四边形ABCD是矩形， 　　∴∠C＝90° 　　由翻折得∠N＝∠C＝90°＝∠OGD　　1分 　　∴OG∥BN 　　∵∠NBD＝30° 　　∴∠GOD＝30°　　3分 　　在Rt△OGD中，cos30°＝，OD＝3 　　∴OG＝　　5分 　　(法二)：过点O作OG⊥ND于点G 　　则DG＝NG　　1分 　　∵OB＝OD 　　∴OG是△BDN的中位线 　　∴OG＝BN 　　∵四边形ABCD是矩形，∠C＝90° 　　∴BD是⊙O直径 　　∵OD＝3 　　∴BD＝6　　3分 　　在Rt△BND中，cos30°＝ 　　∴BN＝ 　　∴OG＝cm　　5分 　　(2)相切．证明：连接OA交BN与H． 　　∵∠DBN＝30°， 　　由翻折得∠DBC＝∠DBN＝30°． 　　∵∠ABC＝90°， 　　∴∠ABO＝60°　　1分 　　∵OA＝OB， 　　∴△ABO是等边三角形　　3分 　　∴∠AOB＝60° 　　∴∠BHO＝90° 　　又∵EF∥BN， 　　∴∠FAH＝90° 　　∴ＯA⊥EF 　　∴EF与⊙O相切　　5分