Question

19．设S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$，S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$，S₃=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$，…，S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，设S=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$+…+$\sqrt{{S}_{n}}$（其中n为正整数）．
（1）当n=2时，求S的值；
（2）用含n的代数式表示S．

Answer 1

分析 （1）表示出S₁和S₂，即可求得n=2时S的值．
（2）根据已知等式得出一般性规律，表示出S_n，代入$\sqrt{{S}_{n}}$表示出$\sqrt{{S}_{n}}$，代入S中计算即可得到结果．

解答 解：（1）∵S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$，S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$，S₃=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$，…，S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
∴S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=1+1+$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{4}$，S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{49}{36}$，
∴当n=2时，S=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{6}$=$\frac{8}{3}$；
（2）根据题意得：S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=1+1+$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{4}$，S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{49}{36}$，S₃=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$=1+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{16}$=$\frac{169}{144}$，…，
S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+（n+1）^{2}+{n}^{2}}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{[n（n+1）+1]^{2}}{[n（n+1）]^{2}}$，
$\sqrt{{S}_{n}}$=$\frac{n（n+1）+1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则S=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$+…+$\sqrt{{S}_{n}}$=1+1-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=n+1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{n+1}$．

点评 此题考查了二次根式的化简求值，弄清题中的规律是解本题的关键．