Question

14．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的点，其中AP=BQ．连接CP、AQ相交于点M，
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）求∠CMQ的度数；
（3）如图2，若点P、Q在等边△ABC边AB、BC的延长线上，仍有AP=BQ，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC的度数为多少？

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，得到AB=AC，∠B=∠PAC=60°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ACP，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到∠APC=∠AQB，∠BAQ=∠ACP，根据外角的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，
在△ABQ与△CAP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠PAC}\\{BQ=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP；

（2）∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠BAQ+∠CAM=60°，
∴∠QMC=60°；
（3）∠QMC的度数为120°，理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，
在△ABQ与△CAP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠PAC}\\{BQ=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP，
∴∠APC=∠AQB，∠BAQ=∠ACP，∵∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BCP=∠CAQ，
∵∠CMQ=∠APC+∠BAQ=∠B-∠PCB=∠BAC+∠CAQ=120°．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．