Question

如图，⊙O的直径AB=8，P是上半圆（A、B除外）上任一点，∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC、BC的中点M、N，则EF的长是（　　）

• A、4

  3

• B、2

  3

• C、6
• D、2

  5

Answer 1

分析：由于PC平分∠APB，易得

AC

=

BC

，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．
由于M、N是AC、BC的中点，因此MN是△ABC的中位线，根据平行线分线段成比例定理可得：OD=CD=

1

2

OC=2．连接OE，可在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．

解答：解：∵PC是∠APB的角平分线，
∴弧AC=弧BC；
∴AC=BC；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
即△ABC是等腰直角三角形．
连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；
∵M、N是AC、BC的中点，∴MN∥AB；
∴OC⊥EF，OD=

1

2

OC=2．
连接OE，根据勾股定理，得：DE=2

3

，EF=2ED=4

3

．
故选A．

点评：此题综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．