Question

已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，⊙O₁过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒

2

个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止；动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO₁交y轴于E点，P、Q运动的时间为t（秒）．
（1）直接写出E点的坐标和S_△ABE的值；
（2）试探究点P、Q从开始运动到停止，直线PQ与⊙O₁有哪几种位置关系，并指出对应的运动时间t的范围；
（3）当Q点运动在折线AD→DC上时，是否存在某一时刻t使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意容易知道O₁的坐标，根据待定系数法可以确定直线AE的解析式，然后求出E的坐标，最后求出S_△ABE；
（2）容易知道当Q运动到O点时PQ与圆相切，此时t=1，所以可以确定其他位置的t的值；
（3）根据已知条件容易知道A（-2，0），B（0，2），OA=2，OB=2然后把S_△APQ，S_△APM，S_{四边形PMDQ}，S_△ADQ分别用t表示，然后根据已知条件可以列出关于t的方程，解方程就可以确定t的值，从而确定直线PQ的函数解析式．

解答：解：（1）由题意知，A（-2，0），B（0，2），
∴OB=OD=2，
∴O₁（1，1），
设AO₁的直线的解析式为y=kx+b，则有0=-2k+b，1=k+b，
解得：b=

2

3

，k=

1

3

，
∴y=

1

3

x+

2

3

，
∴E（0，

2

3

），
∴BE=

4

3

，
S_△ABE=

1

2

OA•BE=

4

3

；

（2）直线PQ与⊙O₁有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，
当PQ与⊙O₁相离，0＜t＜1；
当PQ与⊙O₁相切时，t=1或t=4；
当PQ与⊙O₁相交时，4＞t＞1；

（3）①Q点运动在折线AD上时，当点Q运动到原点，即Q（0，0）时，点P的坐标为（-1，1），
S_△APQ=1，且满足S_△APQ：S_△ABE=3：4，此时t=1，直线PQ所对应的函数解析式y=-x．
②Q点运动在折线DC上时，P到了BA方向，根据已知得A（-2，0），B（0，2），
∴OA=2，OB=2，AB=2

2

，OD=OB=2，
O₁（1，1），此时P，Q的位置如图，过P作PM⊥AD于M，P运动的路程为

2

t，
∴PB=

2

t-AB=

2

t-2

2

，
∴AP=AB-PB=4

2

-

2

t，而△APM为等腰直角三角形，
∴PM=AM=4-t，Q运动的路程为2t，
∴QD=2t-OA-OD=2t-4，
而S_△APQ=S_△APM+S_{四边形PMDQ}-S_△ADQ，
S_△APM+S_{四边形PMDQ}=

1

2

×PM×AM+

1

2

(PM+QD)×MD=t²-4t+8，
S_△ADQ=

1

2

AD×QD=4t-8，
∴S_△APQ=t²-8t+16，若S_△APQ：S_△ABE=3：4，而S_△ABE=

4

3

，
∴S_△APQ=1，
∴1=t²-8t+16，
∴t=3或t=5，当t=5时，Q在BC上，不符合题意，舍去，
∴AM=1=PM，
∴OM=1，P（-1，1），
QD=2，∴Q在C点处，
∴Q（2，2），
设直线PQ的函数解析式为y=kx+b，
∴

1=-k+b 2=2k+b

，
∴k=

1

3

，b=

4

3

，
∴y=

1

3

x+

4

3

．

点评：此题很复杂，把几何知识和代数知识紧紧的结合起来，还有图形的变换，还有复杂的计算，多方面考查学生的能力，综合性很强，对学生的要求比较高．