Question

如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P．
（1）若AM=5，①求AE的长；②求折痕EF的长．
（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．

Answer 1

解：（1）①设AE=x，由折叠的性质可知EM=BE=12-x，
在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE²+AM²=EM²，即x²+5²=（12-x）²，
解得x=，即AE=cm；
②过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵四边形BCFG是矩形，
∴FG=BC，
∴AB=FG，
∵BM⊥FE，
∴∠EBM+∠BEF=90°，
∵∠BMA+∠EBM=90°，
∠BEF=∠BMA，
又∵∠A=∠EGF=90°，
∴△ABM≌△GFE，
∴EF=BM===13cm；

（2）△PDM的周长不变，为24cm．
理由：设AE=x，AM=y，则BE=EM=12-x，MD=12-y，
在Rt△AEM中，由勾股定理得AE²+AM²=EM²，
x²+y²=（12-x）²，解得144-y²=24x，
∵∠EMP=90°，∠A=∠D，
∴Rt△AEM∽Rt△DMP，
∴=，即=，
解得DM+MP+DP==24．
分析：（1）①设AE=x，由折叠的性质可知EM=BE=12-x，在Rt△AEM中，运用勾股定理求AE；②过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接BM，根据折叠的性质得点B和点M关于EF对称，即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求EF的问题转化为求BM；
（2）设AE=x，AM=y，则BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长．
点评：本题考查了折叠的性质．关键是根据折叠前后对应线段相等怎么全等三角形，根据角的互余关系证明相似三角形，结合勾股定理，相似三角形的性质解题．