Question

若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．

（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．
（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄的对边分别在B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄，BC上，如图2所示．
①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B₁C₁为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B₃C₃为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．

Answer 1

（1）答案不唯一，a=2，b=4（2）①以B₁C₁为一边的矩形不是方形②或

解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4。

（2）①以B₁C₁为一边的矩形不是方形。理由如下：
过A作AM⊥BC于M，交B₁C₁于E，交B₂C₂于H，交B₃C₃于G，交B₄C₄于N，则AM⊥B₄C₄，AM⊥B₃C₃，AM⊥B₂C₂，AM⊥B₁C₁，
∵由矩形的性质得：BC∥B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃∥B₄C₄，
∴△ABC∽△AB₁C₁∽△AB₂C₂∽△AB₃C₃∽△AB₄C₄，
∴。
∵AM=20，BC=25，
∴B₁C₁=5，B₂C₂=10，B₃C₃=15，B₄C₄=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16。
∴MN=GN=GH=HE=4。∴BQ=B₂O=B₃Z=B₄K=4，即B₁C₁≠2B₁Q，B₁Q≠2B₁C₁。
∴以B₁C₁为一边的矩形不是方形。
②设AM=h，
∵以B₃C₃为一边的矩形为方形，∴△ABC∽△AB₃C_3。，∴。
∴AG=h。∴MN=GN=GH=HE=h。
当B₃C₃=2×h，时，；
当B₃C₃=h时，
综合上述：BC与BC边上的高之比是或。
（1）答案不唯一，根据已知举出即可。
（2）①求出△ABC∽△AB₁C₁∽△AB₂C₂∽△AB₃C₃∽△AB₄C₄，推出，，求出B₁C₁=5，B₂C₂=10，B₃C₃=15，B₄C₄=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B₂O=B₃Z=B₄K=4，根据定义判断即可。
②设AM=h，根据△ABC∽△AB₃C₃，得出，求出MN=GN=GH=HE=h，分为两种情况：当B₃C₃=2×h，时，当B₃C₃=h时，代入求出即可。