Question

9．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为6，弧DE的长度为2π．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OD、OE，根据弧DE的长度为2π，从而可求出∠EOD的度数，根据切线的性质即可求出∠EDA的度数，从可得出∠B=∠EAD；
（2）连接FD，由圆周角定理可知FD是⊙O的直径，从而可知∠AFD=30°，从而可求出AF、AE的长度，再由tanB=$\frac{AC}{BC}$即可求出BC的长度．

解答 解：（1）连接OD、OE，
设∠EOD=n°，
∵弧DE的长度为2π，
∴2π=$\frac{nπ×6}{180}$，
∴n=60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠ODE=60°，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ODA=90°
∴∠EAD=30°，
∴∠B=∠EAD，
∴ED∥BC，
（2）连接FD，
由（1）可知ED∥BC，
∴∠AED=∠C=90°，
∴由圆周角定理可知：FD是⊙O的直径，
∴∠AFD=30°，
∴cos∠AFD=$\frac{DF}{AF}$，DF=12
∴AF=8$\sqrt{3}$，
∵cos∠AFD=$\frac{EF}{DF}$，
∴EF=6$\sqrt{3}$，
∴CE=AF=8$\sqrt{3}$，
∴AE=CF=2$\sqrt{3}$，
∴AC=10$\sqrt{3}$，
∵tanB=$\frac{AC}{BC}$，
∴BC=30，

点评 本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，含30度的直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数值、切线的性质等知识，本题属于中等题型．