【题目】如图,抛物线过点,顶点在第三象限,,是抛物线的对称轴上的两点,且,在直线左侧以为边作正方形,点恰好在抛物线上.
(1)用含的式子表示;
(2)求证:点和点关于直线对称;
(3)判断直线和直线(是常数,且)的交点是否在抛物线上,并说明理由.
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【题目】(1)问题探究:如图1所示,有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG.AE<AB,连接BE与DG,请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系.并请说明理由.
(2)理解应用:如图2所示,有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG,AE<AB,AB=10,将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转,当∠ABE=15°,且点D、E、G三点在同一条直线上时,请直接写出AE的长 ;
(3)拓展应用:如图3所示,有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG,AD=4,AB=4,AG=4,AE=4,将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转,连接BD,DE,点M,N分别是BD,DE的中点,连接MN,当点D、E、G三点在同一条直线上时,请直接写出MN的长
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【题目】如图,抛物线与轴交于点,与轴的交点在点与点之间(不包括这两点),对称轴为直线.有下列结论:
①;②;③;④若点,在抛物线上,则.其中正确结论的个数是()
A.B.C.D.
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【题目】问题探究
(1)如图①,已知与直线,过作于点,,的半径为,则圆上一点到的距离的最小值是______;
(2)如图②,在四边形中,,,,,过点作一条直线交边或于,若平分四边形的面积,求的长;
问题解决
(3)如图③所示,是由线段、、与弧围成的花园的平面示意图,,,//,CD⊥BC,点为的中点,所对的圆心角为.管理人员想在上确定一点,在四边形区域种植花卉,其余区域种植草坪,并过点修建一条小路,把四边形分成面积相等且尽可能小的两部分,分别种植不同的花卉.问是否存在满足上述条件的小路?若存在,请求出的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知二次函数的图象与轴的交点坐标为和.
(1)求和(用的代数式表示);
(2)若在自变量的值满足的情况下,与其对应的函数值的最大值为1,求的值;
(3)已知点和点.若二次函数的图象与线段有两个不同的交点,直接写出的取值范围.
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【题目】乒乓球是我国的国球,比赛采用单局分制,分团体、单打、双打等。在某站公开赛中,某直播平台同时直播场男单四分之一决赛,四场比赛的球桌号分别为“”,“”,“”,“”(假设场比赛同时开始),小宁和父亲准备一同观看其中的一场比赛,但两人的意见不统一,于是采用抽签的方式决定,抽签规则如下:将正面分别写有数字“”,“”,“”,“”的四张卡片(除数字不同外,其余均相同)分别对应球桌号“”,“”,“”,“”,卡片洗匀后背面朝上放在桌子上,父亲先从中随机抽取一张,小宁再从剩下的张卡片中随机抽取一张,比较两人所抽卡片上的数字,观看较大的数字对应球桌的比赛。
(1)下列事件中属于必然事件的是 .
A.抽到的是小宁最终想要看的一场比赛的球桌号
B.抽到的是父亲最终想要看的一场比赛的球桌号
C.小宁和父亲抽到同一个球桌号
D.小宁和父亲抽到的球桌号不一样
(2)用列表法或树状图法求小宁和父亲最终观看“T”球桌比赛的概率。
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【题目】如图,已知二次函数:和二次函数:图象的顶点分别为、,与轴分别相交于、两点(点在点的左边)和、两点(点在点的左边),
(1)函数的顶点坐标为______;当二次函数,的值同时随着的增大而增大时,则的取值范围是_______;
(2)判断四边形的形状(直接写出,不必证明);
(3)抛物线,均会分别经过某些定点;
①求所有定点的坐标;
②若抛物线位置固定不变,通过平移抛物线的位置使这些定点组成的图形为菱形,则抛物线应平移的距离是多少?
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【题目】如图,已知抛物线与轴相交于两点,点坐标为,抛物线的对称轴是直线
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是轴右侧抛物线图像上的一动点,设点的横坐标为.
①是否存在这样的点使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
②若该动点在第一象限内,连接,当时,求的值
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,D是AB上的一点,DE⊥AB于D,DE交BC于F,且EF=EC.
(1)求证:EC是⊙O的切线;
(2)若BD=4,BC=8,圆的半径OB=5,求切线EC的长.
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