Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在CB的延长线上，连接AD．
（1）求证：AD²-AB²=BD•CD；
（2）若点D在CB上，上述结论将会有什么变化，试证明你的新结论．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=CE，利用勾股定理列式表示出DE²、CE²，然后相减即可得解；
（2）根据（1）的求解思路列式整理即可．

解答：（1）证明：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
在Rt△ADE中，AD²-AE²=DE²，
在Rt△ACE中，AC²-AE²=CE²，
两式相减得，AD²-AC²=DE²-CE²=（DE-CE）（DE+CE）=（DE-BE）CD=BD•CD，
即AD²-AB²=BD•CD；

（2）结论为：AC²-AD²=BD•CD．
证明如下：与（1）同理可得，AD²-AE²=DE²，AC²-AE²=CE²，
∵点D在CB上，
∴AB＞AD，
∴AC²-AD²=CE²-DE²=（CE-DE）（CE+DE）=（BE-DE）（CE+DE）=BD•CD，
即AC²-AD²=BD•CD．

点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．