Question

15．如果我们要计算1+2+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰的值，我们可以用如下的方法：
解：设S=1+2+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰?式
在等式两边同乘以2，则有2S=2+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰+2¹⁰¹?式
?式减去?式，得2S-S=2¹⁰¹-1
即 S=2¹⁰¹-1
即1+2+2²+2³+…+2⁹⁹+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1
【理解运用】计算
（1）1+3+3²+3³+…+3⁹⁹+3¹⁰⁰           
（2）1-3+3²-3³+…-3⁹⁹+3¹⁰⁰．

Answer 1

分析 （1）利用题中的方法求出原式的值即可；
（2）根据题中的方法利用加法即可．

解答 解：（1）设S=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，①
①式两边都乘以3，得3S=3+3²+3³+…+3¹⁰¹，②
②-①得：2S=3¹⁰¹-1，即S=$\frac{{3}^{101}-1}{2}$，
则原式=$\frac{{3}^{101}-1}{2}$；

（2）设S=1-3+3²-3³+…+3¹⁰⁰，①
①式两边都乘以3，得3S=3-3²+3³-…+3¹⁰¹，②
②+①得：4S=3¹⁰¹+1，即S=$\frac{{3}^{101}+1}{4}$，
则原式=$\frac{{3}^{101}+1}{4}$．

点评 本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．