Question

20．若实数m、n满足n=m²+1，我们就称点P（m，n）为“创新点”
（1）求直线y=x+3上的创新点坐标；
（2）已知抛物线y=-x²+2x-k上有两个创新点，且这两个点的横坐标分别为x₁，x₂，若x₁=2x₂，求k的值；
（3）在平面直角坐标系中，圆M经过A、B两个创新点，且A（0，1），A，B对应的弦长为$\sqrt{2}$．若创新点Q的横坐标为2，求圆心M到点Q的最小距离．

Answer 1

分析 （1）由题意“创新点”均在抛物线y=x²+1的函数图象上，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}+1}\end{array}\right.$即可解决问题．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-{x}^{2}+2x-k}\end{array}\right.$消去y得到2x²-2x+k+1=0，由题意x₁+x₂=3x₁=1，可得x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=$\frac{2}{3}$，根据x₁•x₂=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{k+1}{2}$，解方程即可．
（3）由圆M经过A、B两个创新点，且A（0，1），A，B对应的弦长为$\sqrt{2}$，推出B（1，2）或B′（-1，2），由创新点Q的横坐标为2，推出Q（2，5），
分两种情形讨论①圆M经过A、B时，因为直线AB的解析式为y=x+1，推出线段AB的垂直平分线的解析式MF为y=-x+2，当QM⊥FM时，点M到点Q的距离最短．
②圆M经过A、B′时，因为直线AB′的解析式为y=-x+1，推出线段AB′的垂直平分线的解析式MF为y=x+2，当QM′⊥F′M′时，点M′到点Q的距离最短，构建一次函数，利用方程组即可解决问题．

解答 解：（1）由题意“创新点”均在抛物线y=x²+1的函数图象上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴直线y=x+3上的创新点坐标为（-1，2）或（2，5）．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-{x}^{2}+2x-k}\end{array}\right.$消去y得到2x²-2x+k+1=0，
由题意x₁+x₂=3x₁=1，
∴x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=$\frac{2}{3}$，
∴x₁•x₂=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{k+1}{2}$，
∴k=-$\frac{5}{9}$．

（3）如图，

∵圆M经过A、B两个创新点，且A（0，1），A，B对应的弦长为$\sqrt{2}$，
∴B（1，2）或B′（-1，2），
∵创新点Q的横坐标为2，
∴Q（2，5），
①圆M经过A、B时，∵直线AB的解析式为y=x+1，
线段AB的垂直平分线的解析式MF为y=-x+2，
当QM⊥FM时，点M到点Q的距离最短，此时QM的解析式为y=x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），此时QM=$\sqrt{（2+\frac{1}{2}）^{2}+（5-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$．
②圆M经过A、B′时，∵直线AB′的解析式为y=-x+1，
线段AB′的垂直平分线的解析式MF为y=x+2，
当QM′⊥F′M′时，点M′到点Q的距离最短，此时QM的解析式为y=-x+7，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+7}\\{y=x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$
∴M（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$），此时QM=$\sqrt{（2-\frac{5}{2}）^{2}+（5-\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
综上所述，圆心M到点Q的最小距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、二次函数的应用、一次函数的应用、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数或一次函数解决问题，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．