Question

如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E．
（1）证明：BE=CE；
（2）证明：∠D=∠AEC；
（3）若⊙O的半径为5，BC=8，求△CDE的面积．

Answer 1

分析：（1）根据OD⊥BC运用垂径定理得到弧BE=弧CE，再根据等弧对等弦证明；
（2）结合切线的性质定理和等角的余角相等，把∠D转化为∠OCB，再根据等边对等角和圆周角定理的推论进行证明；
（3）根据垂径定理可以求得DE边上的高CF，只需求得DE的长．要求DE的长，求得OD的长减去OE的长就可．根据勾股定理首先求得OF的长，再根据相似三角形的性质求得OD的长．

解答：（1）证明：∵BC是⊙O的弦，半径OE⊥BC，
∴BE=CE．

（2）证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCB+∠DCF=90°．
∵∠D+∠DCF=90°，
∴∠OCB=∠D，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠AEC，
∴∠D=∠AEC．

（3）解：在Rt△OCF中，OC=5，CF=4，
∴OF=

OC2-CF2

=

52-42

=3．
∵∠COF=∠DOC，∠OFC=∠OCD，
∴Rt△OCF∽Rt△ODC．
∴

OD

OC

=

OC

OF

，即OD=

OC2

OF

=

52

3

=

25

3

．
∴DE=OD-OE=

25

3

-5=

10

3

．
∴S_△CDE=

1

2

•DE•CF=

1

2

×

10

3

×4=

20

3

．

点评：此题综合运用了垂径定理、切线的性质定理、圆周角定理的推论、勾股定理以及相似三角形的性质和判定．