Question

6．（1）如图①，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与y轴、x轴分别交于点A、B，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象只有一个公共点C，求m的值及AC、CB的长；
（2）如图②，直线PAB分别交x轴、y轴于点B、A，直线PCD分别交x轴、y轴于点C、D，且分别与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象都只有一个公共点M、N．
①求证：AM=MB，CN=ND；
②求证：AC∥BD．

Answer 1

分析 （1）过点C作CG⊥y轴于A，过点C作CH⊥x轴于H，如图①，由题可得-$\frac{3}{4}$x+3=$\frac{m}{x}$即3x²-12x+4m=0有两个相等的实数根，运用根的判别式可求出m的值，然后解方程求出点C的坐标，再运用勾股定理就可求出AC、BC的值；
（2）①过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，如图②，则有ME∥OA，NF∥OD．设直线AB的解析式为y=ax+b，直线CD的解析式为y=cx+d，由题可得ax+b=$\frac{m}{x}$即ax²+bx-m=0有两个相等的实数根，运用根的判别式可得b²+4am=0，然后解该方程可得OE=-$\frac{b}{2a}$，易得OB=-$\frac{b}{a}$，从而可得BE=OE，然后根据平行线分线段成比例可得AM=MB，同理可得CN=ND；②易得OA=b，OD=-d，OC=$\frac{d}{c}$，OB=-$\frac{b}{a}$，从而可得OA•OB=-$\frac{{b}^{2}}{a}$=4m，OC•OD=-$\frac{{d}^{2}}{c}$=4m，由此可得$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OC}{OB}$，从而可证到△AOC∽△DOB，则有∠OAC=∠ODB，就可得到AC∥BD．

解答 解：（1）过点C作CG⊥y轴于A，过点C作CH⊥x轴于H，如图①．
由题可得-$\frac{3}{4}$x+3=$\frac{m}{x}$即3x²-12x+4m=0有两个相等的实数根，
则有（-12）²-4×3×4m=0，
解得：m=3．
解方程3x²-12x+12=0，得x₁=x₂=2．
当x=2时，y=-$\frac{3}{4}$×2+3=$\frac{3}{2}$，点C的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）．
对于y=-$\frac{3}{4}$x+3，
当x=0时，y=3，点A的坐标为（0，3）；
当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=4，点B的坐标为（4，0）．
在Rt△AGC中，
∵AG=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，GC=2，∴AC=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
在Rt△BHC中，
∵BH=4-2=2，CH=$\frac{3}{2}$，∴BC=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
∴m的值为3，AC的长为$\frac{5}{2}$，CB的长为$\frac{5}{2}$；

（2）证明：①过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，如图②，
则有ME∥OA，NF∥OD．
设直线AB的解析式为y=ax+b，直线CD的解析式为y=cx+d．
由题可得ax+b=$\frac{m}{x}$即ax²+bx-m=0有两个相等的实数根，
则有b²-4×a×（-m）=0，即b²+4am=0，
此时方程ax²+bx-m=0的解为x₁=x₂=-$\frac{b}{2a}$，则OE=-$\frac{b}{2a}$．
令y=0，得ax+b=0，解得x=-$\frac{b}{a}$，则OB=-$\frac{b}{a}$，
∴BE=OB-OE=-$\frac{b}{2a}$=OE．
同理：d²+4cm=0，OC=$\frac{d}{c}$，CF=OF=$\frac{d}{2c}$．
∵ME∥OA，BE=OE，
∴$\frac{BM}{AM}$=$\frac{BE}{OE}$=1，即BM=AM；
同理CN=DN．
②∵OA=b，OD=-d，OC=$\frac{d}{c}$，OB=-$\frac{b}{a}$，
∴OA•OB=-$\frac{{b}^{2}}{a}$=4m，OC•OD=-$\frac{{d}^{2}}{c}$=4m，
∴OA•OB=OC•OD，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OC}{OB}$．
∵∠AOC=∠DOB，
∴△AOC∽△DOB，
∴∠OAC=∠ODB，
∴AC∥BD．

点评 本题主要考查了根的判别式、直线上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理、平行线的判定等知识，有一定的综合性，把直线与双曲线只有一个公共点转化为一元二次方程有等根是解决本题的关键．另外，用点的横坐标或纵坐标表示线段长度时，特别要注意符号问题，避免出错．