Question

16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1-t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是$\sqrt{13}$-1．

Answer 1

分析 先求出AB，AC进而得出AC=AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP=t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论．

解答 解：如图，连接AP，
∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1-t）（t＞0），
∴AB=（1+t）-1=t，AC=1-（1-t）=t，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90°，
∴AP=$\frac{1}{2}$BC=AB=t，
要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，
∴点P在AD上，
∵A（0，1），D（3，3），
∴AD=$\sqrt{9+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴t的最小值是AP=AD-PD=$\sqrt{13}$-1，
故答案为$\sqrt{13}$-1．

点评 此题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内，两点间的距离公式，极值的确定；判断出点A是BC的中点是解本题的关键．是一道基础题．