Question

【题目】如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E，F，且∠EDF与∠A互补．
（1）如图1，若AB=AC，且∠A=90°，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；

（2）如图2，若AB=AC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若AB：AC=m：n，探索线段DE与DF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：DF=DE，

理由：如图1，连接AD，

∵Rt△ABC是等腰三角形，

∴∠C=∠B=45°，

∴D是斜边BC的中点，

∴∠DAB=∠DAC= ∠BAC=45°，AD⊥BC，

∴AD=DC，

∵∠EDF=90°，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠FDC=90°，

∴∠ADE=∠FDC，

在△ADE和△CDF中， ，

∴△AED≌△CFD（ASA）；

∴DE=DF；

（2）解：DE=DF依然成立．

如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，

则∠EMD=∠FND=90°，

∵AB=AC，点D为BC中点，

∴AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∵在四边形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，

∴∠MAN+∠MDN=180°，

又∵∠EDF与∠MAN互补，

∴∠MDN=∠EDF，

∴∠1=∠2，在△DEM与△DFN中， ，

∴△DEM≌△DFN（ASA），

∴DE=DF．

（3）解：结论DE：DF=n：m．

如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，

同（2）可证∠1=∠2，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△DEM∽△DFN，

∴ ．

∵点D为BC边的中点，

∴S△ABD=S△ADC，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ．

【解析】（1）DF=DE，理由：如图1，连接AD，根据等腰直角三角形的性质及等腰三角形的三线合一得∠C=∠B=45°，∠DAB=∠DAC=45°，AD⊥BC，然后根据同角的余角相等得出∠ADE=∠FDC，进而利用ASA判断出△AED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等得出DE=DF；
（2）DE=DF依然成立．如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，根据等腰三角形的三线合一得出AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质定理得出DM=DN，根据四边形的内角和得出∠MAN+∠MDN=180°，又根据同角的补角相等得出∠MDN=∠EDF，进而得出∠1=∠2，然后根据ASA判断出△DEM≌△DFN，根据全等三角形对应边相等得出结论；
（3）结论DE：DF=n：m．如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，由AA判断出△DEM∽△DFN，根据相似三角形的对应边成比例得出=,根据等底同高的两个三角形面积相等得出S△ABD=S△ADC，得出等积式，再根据等量代换得出结论。
【考点精析】掌握等腰直角三角形和角平分线的性质定理是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．