Question

已知二次函数y=x²+bx+c的顶点M在直线y=-4x上，并且图象经过点A（-1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设此二次函数与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，求经过M、B、C三点的圆O′的直径长；
（3）设圆O′与y轴的另一个交点为N，经过P（-2，0）、N两点的直线为l，则圆心O′是否在直线上，请说明理由．

Answer 1

解（1）∵二次函数y=x²+bx+c的顶点M的坐标为（-，）在直线y=-4x上，
∴=-①，
∵图象经过点A（-1，0）．
∴0=1-b+c②，
联立①②得
，
解得：，
故y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4；
∴与y轴的交点C的坐标是（0，-3），顶点M的坐标是（1，-4）
设y=0，则x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
∴二次函数与x轴的另一个交点B的坐标是（3，0），
过M作ME⊥OE，过B作BF⊥EM交EM于F，
∴OC=3，OB=3，CE=OE-OC=1，MF=2，BF=4，EM=1
在Rt△BOC，Rt△CEM，Rt△BFM中，利用勾股定理得：BC=3，MC=，BM=2，
∵BC²+MC²=20，BM²=2，
∴BC²+MC²=BM²，
∴△MBC为直角三角形，且∠BCM=90°，
∴⊙O′的直径长为BM=2；

（3）圆心O′是在直线上，理由如下：
过O′作x轴的垂线，交x轴于R，过O′作y轴的垂线，交y轴于T，交MQ于S，
设⊙O′与x轴的另一个交点为Q，连接MQ，由BM是⊙O′的直径，知∠BQM=90°．
∴Q（1，0），
∵BQ=2，O′R⊥OB，
∴QR=1，
∴OR=2，
在Rt△O′RB中，O′R==2，
∴O′的坐标为（2，-2），
∴OT=2，
∵OC=3，
∴TC=1，
∴NC=1，
∴ON=1，
∴N的坐标为（0，-1）
设过PN的直线解析式为y=kx+b，把N的坐标为（0，-1）和P（-2，0）分别代入求得k=-，b=-1，
∴过PN的直线解析式为y=-x-1，
∵O′的坐标为（2，-2），
∴-2=-×2-1=-2，
∴圆心O′是在直线上．
分析：（1）由公式法可表示出二次函数的顶点坐标代入y=-4x，得到关于b，c的关系式，再把A的坐标代入函数解析式又可得到b，c的关系式，联立以上两个关系式解方程组求出b和c的值即可求出这个二次函数的解析式；
（2）分别求出B，C，和M的坐标，利用勾股定理求出BC，MC，BM的长，利用勾股定理的逆定理即可证明三角形为直角三角形，并且BM为圆的直径问题得解；
（3）圆心O′在直线上，过O′作x轴的垂线，交x轴于R，过O′作y轴的垂线，交y轴于T，交MQ于S，利用圆周角定理和勾股定理求出O′，N的坐标，再设经过P（-2，0）、N两点的直线为l的解析式为y=kx+b，把O的坐标代入已求出的一次函数的解析式检验即可．
点评：本题考查了求二次函数和一次函数的解析式、勾股定理的运用、勾股定理的逆定理的运用以及圆周角定理和矩形的性质运用，题目的综合性很强，难度很大．