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    2．如图，在平面直角坐标系中，A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E．已知CD=8，抛物线经过O，E，A三点．
    （1）求直线OB的函数表达式；
    （2）求抛物线的函数表达式；
    （3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P，O，A，E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个．

    分析 （1）利用圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，于是得到OB是的垂直平分线，求得点B，即可得到OB所在直线的解析式；
    （2）由OB所在直线的解析式得出点E的坐标，用待定系数法得抛物线的解析式；
    （3）利用（2）的结论易得点P的坐标，分类讨论：①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，易得OP所在直线的函数关系式，表示出Q点的纵坐标，得QE的长，表示出四边形POAE的面积；②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，易得AP所在直线的解析式，从而求得Q点的纵坐标，得QE求得四边形POAE的面积，当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令-$\frac{3}{8}$p2+$\frac{9}{4}$p+15=16，解得p，得出结论．

    解答 解：（1）连接OC，如图1所示，
    ∵OA是⊙O的直径，
    ∴∠OBA=90°，
    ∴OB⊥AC，
    又∵AB=BC，
    ∴OB是AC的垂直平分线，
    ∴OC=OA=10，
    在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，
    ∴OD=6，
    ∴C（6，8），B（8，4）
    ∴OB所在直线的函数关系为y=$\frac{1}{2}$x，

    （2）∵E点的横坐标为6，
    ∴E点纵坐标为3，
    即E（6，3），
    抛物线过O（0，0），E（6，3），A（10，0），
    ∴设此抛物线的函数关系式为y=ax（x-10），把E点坐标代入得：
    3=6a（6-10），
    解得a=-$\frac{1}{8}$．
    ∴此抛物线的函数关系式为y=-$\frac{1}{8}$x（x-10），即y=-$\frac{1}{8}$x2+$\frac{5}{4}$x；

    （3）设点P（p，-$\frac{1}{8}$p2+$\frac{5}{4}$p），
    ①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，
    OP所在直线函数关系式为：y=（-$\frac{1}{8}$p+$\frac{5}{4}$）x
    ∴当x=6时，y=-$\frac{3}{4}$p+$\frac{15}{2}$，即Q点纵坐标为-$\frac{3}{4}$p+$\frac{15}{2}$，
    ∴QE=-$\frac{3}{4}$p+$\frac{15}{2}$-3=-$\frac{3}{4}$p+$\frac{9}{2}$，
    S四边形POAE
    =S△OAE+S△OPE
    =S△OAE+S△OQE-S△PQE
    =$\frac{1}{2}$•OA•DE+$\frac{1}{2}$QE•OD-$\frac{1}{2}$•QE•Px•
    =$\frac{1}{2}$×10×3+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{4}$p+$\frac{9}{2}$）×6-$\frac{1}{2}$•（-$\frac{3}{4}$p+$\frac{9}{2}$）•（6-p），
    =-$\frac{3}{8}$p2+$\frac{9}{4}$p+15，
    ②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，
    P（p，-$\frac{1}{8}$p2+$\frac{5}{4}$p），A（10，0）
    ∴设AP所在直线方程为：y=kx+b，把P和A坐标代入得，
    $\left\{\begin{array}{l}{10k+b=0}\\{pk+b=-\frac{1}{8}{p}^{2}+\frac{5}{4}p}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{8}p}\\{b=\frac{5}{4}p}\end{array}\right.$．
    ∴AP所在直线方程为：y=$\frac{1}{8}$x+$\frac{5}{4}$，
    ∴当x=6时，y=$\frac{1}{8}$•6+$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{2}$P，即Q点纵坐标为$\frac{1}{2}$P，
    ∴QE=$\frac{1}{2}$P-3，
    ∴S四边形POAE
    =S△OAE+S△APE
    =S△OAE+S△AQE-S△PQE
    =$\frac{1}{2}$•OA•DE+$\frac{1}{2}$•QE•DA-$\frac{1}{2}$•QE•（Px-6）
    =$\frac{1}{2}$×10×3+$\frac{1}{2}$•QE•（DA-Px+6）
    =15+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$p-3）•（10-p）
    =$\frac{1}{4}$p2+4p
    =-$\frac{1}{4}$（p-8）2+16，
    ∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，
    令-$\frac{3}{8}$p2+$\frac{9}{4}$p+15=16，解得，p=3±$\frac{\sqrt{57}}{3}$，
    ∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，
    综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．

    点评 本题主要考查了圆周角定理，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，四边形和三角形的面积的计算，解决这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，然后数形结合解决问题．

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