Question

14．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形，可知BE=DG．
【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F，求证：BE=DG．
【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上，若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为6，则菱形CEFG的面积为16．

Answer 1

分析 拓展：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得△BCE≌△DCG，则可得BE=DG；
应用：由AD∥BC，△BCE≌△DCG，可得S_△ABE+S_△CDE=S_△BEC=S_△CDG=6，又由AE=2ED，可求得△CDE的面积，继而求得答案．

解答 解：拓展：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F．
∵∠A=∠F，
∴∠BCD=∠ECG．
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，
即∠BCE=∠DCG．
在△BCE和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠DCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG．

应用：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∵△BCE≌△DCG，
∴S_△ABE+S_△CDE=S_△BEC=S_△CDG=6，
∵AE=2ED，
∴S_△CDE=$\frac{1}{3}$×6=2，
∴S_△ECG=S_△CDE+S_△CDG=8，
∴S_菱形CEFG=2S_△ECG=16．
故答案为16．

点评 此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．